Jak działa teoria perturbacji niezależnych od czasu? [duplikować]
Rozważmy zwykłą konfigurację teorii zaburzeń niezależnych od czasu:
$$H=H_0+\varepsilon H'$$
a następnie możemy skonfigurować zwykłe rozszerzenie:
$$(H_0+\varepsilon H')[|n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]=(E_n^{(0)}+\varepsilon E_n^{(1)}+\varepsilon ^2 E_n^{(2)}+...)[n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]$$
Krótko mówiąc: kiedy musimy rozwiązać problem za pomocą teorii perturbacji, jedyną rzeczą, która nas interesuje, jest sposób obliczania poprawek do stanów własnych i wartości własnych.
Jeśli jesteśmy w przypadku czasowego niezależnego non zdegenerowanej rachunku zaburzeń wówczas zadanie to jest preatty proste gdy wiesz formuły dla korekt:
$$E^{(k)}_n=\langle n_0|H'|n_{k-1}\rangle$$ $$|n_k\rangle=\frac{1}{H_0+E^{(0)}_n}|_{|n_0\rangle}[(E_n^{(1)}-H')|n_{k-1}\rangle+E_n^{(2)}|n_{k-2}\rangle+.....+E_n^{(k)}|n_0\rangle]$$
Gotowe! Wspaniale! Ale oczywiście co, jeśli nasz hamiltonian jest zdegenerowany? W podręcznikach znalazłem powody, dla których stare formuły nie działają. Zrozumiałem również, że w niektórych przypadkach perturbacja anuluje degenerację, aw innych nie. I są też rozmowy o potrzebie diagonalizacji matrycy w zdegenerowanej przestrzeni (ten ostatni punkt nie jest dla mnie na razie jasny). Dobrze. Ale w praktyce: jak mogę ustawić i rozwiązać perturbacyjną ekspansję w zdegenerowanym przypadku? Jakie są wzory na korektę? (Wiedza o tym, dlaczego formuły działają, również byłaby miła, ale nie jest to główny punkt tego pytania)
To proste pytania, ale nie mogę znaleźć bezpośredniej odpowiedzi w moich książkach ani notatkach z wykładów. Chciałbym otrzymać miłą i zwięzłą odpowiedź. Ten temat wydaje mi się naprawdę skomplikowany jako początkujący i chciałbym podsumować, co się tutaj dzieje. Zwłaszcza z praktycznego punktu widzenia, jak możemy rozwiązać ćwiczenia i rozwinięcia w zdegenerowanym przypadku.
Odpowiedzi
Główną ideą teorii perturbacji dla stanów zdegenerowanych jest znalezienie nie tylko poprawek, ale także stanów, które są korygowane. Tylko określone stany uzyskałyby niewielkie korekty, inne zostaną poprawione przez$O(1)$warunki. Rozważmy jako prosty przykład. Rozważmy system dwupoziomowy określony przez następujący hamiltonian \ begin {equation} H = \ left (\ begin {tablica} {ccc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {tablica} \ right), \ end { równanie} z$\varepsilon \ll m$. System można rozwiązać dokładnie, podając \ begin {equation} E_ \ pm = m \ pm \ varepsilon ~~ \ text {i} ~~ | \ psi_ \ pm \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right). \ end {equation} Teraz wyobraź sobie, że próbowaliśmy uzyskać ten wynik, korzystając z teorii zaburzeń. Niezakłócony hamiltonian to \ begin {equation} H = \ left (\ begin {tablica} {ccc} m & 0 \\ 0 & m \ end {tablica} \ right), \ end {equation} ma zdegenerowane stany własne \ begin { równanie} | \ psi ^ {(0)} \ rangle = c_1 \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array} \ right) + c_2 \ left (\ begin {tablica} {c} 0 \ \ 1 \ end {array} \ right), \ end {equation} wszystko z energią$E^{(0)}=m$. Jest jasne, że tylko wtedy, gdy wybierzesz swoje niezakłócone stany jako \ begin {equation} | \ psi ^ {(0)} _ {1,2} \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right) \ end {equation} poprawki spowodowane zaburzenie jest niewielkie (w tym przypadku zanika). Jak moglibyśmy uzyskać taki wynik bez dokładnego rozwiązywania systemu? W tym celu wybierasz dowolną podstawę niezakłóconego systemu$| \varphi_i \rangle$i wyrazić „prawdziwe” niezakłócone (i zaburzone) stany własne jako liniowe kombinacje tych: \ begin {equation} | \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle = c ^ {(0)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle, ~~ \ text {i} ~~ | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle = c ^ {(1)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle. \ end {equation} Następnie pomnożenie równania Schrödingera \ begin {equation} (H_0 + \ varepsilon V) \ left (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle \ right) = (E ^ {(0)} + \ varepsilon E ^ {(1)} _ i) \ left (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1 )} _ i \ rangle \ right) \ end {equation} wg$\langle \phi_k |$dostajemy \ begin {equation} \ sum_ {j} \ langle \ varphi_k | V | \ varphi_j \ rangle c_ {ij} ^ {(0)} = E_i ^ {(1)} c_ {ik} ^ {(0)}. \ end {equation} Pomijanie indeksu$i$widzimy, że te równania są niczym innym jak równaniami dla stanów własnych \ begin {equation} \ sum_j V_ {kj} c_j = E ^ {(1)} c_k, \ end {equation}, co oznacza, że$\det (V-E^{(1)})=0$. Z tego równania$E_i^{(1)}$ i $c_{ij}^{(0)}$ są wyprowadzane jednocześnie.
Wracając do naszego przykładu, możemy wybrać \ begin {equation} | \ varphi_1 \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ 0 \ end {array} \ right), ~~ \ text {i} ~~ | \ varphi_2 \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 \\ 1 \ end {array} \ right). \ end {equation} Równanie Schrödingera staje się \ begin {equation} \ left (\ begin {tablica} {cc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {tablica} \ right) \ left (\ begin {array } {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1 )} \ end {tablica} \ right) = \ left (m + \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ right) \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1)} \ end {tablica} \ right), \ end {equation} lub po uproszczeniu \ begin {equation} \ varepsilon \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i2} ^ {(0)} \\ c_ {i1} ^ {(0)} \ end {array} \ right ) = \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} \ end {array} \ right), \ end {equation}, którego rozwiązaniem jest \ begin {equation} E ^ {(1)} = \ pm 1, ~~ \ text {for} ~~ \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \ \ \ pm 1 \ end {array} \ right), \ end {equation}, czyli dokładnie to, co mieliśmy wcześniej.
To, co cię interesuje, nazywa się równaniem świeckim .
Klasycznym źródłem jest drugi tom Landau & Lifshitz https://books.google.ru/books?id=neBbAwAAQBAJ&pg=PA110&hl=ru&source=gbs_selected_pages&cad=2#v=onepage&q&f=false
Pozwolić $\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$ być funkcjami własnymi, należącymi do tej samej wartości własnej $E_n^{(0)}$. Przez$\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$przyjmujemy niezakłócone funkcje, wybrane w jakiś arbitralny sposób. Prawidłowa funkcja własna w porządku zerowym to liniowe kombinacje postaci:$$ c_{n}^{(0)} \psi_{n}^{(0)} + c_{n^{'}}^{(0)} \psi_{n^{'}}^{(0)} + \ldots $$
Podstawienie energii w pierwszym rzędzie zaburzeń $E_n^{(0)} + E^{(1)}$ do drugiego równania w Twoim poście daje: $$ E^{(1)} c_{n}^{(0)} = \sum_{n^{'}} H_{n n^{'}} c_{n^{'}}^{(0)} $$ Lub przepisz go w następujący sposób: $$ \sum_{n^{'}} (H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}})c_{n^{'}}^{(0)} = 0 $$To równanie ma rozwiązania, jako układ z zerową prawą stroną, tylko wtedy, gdy macierz definiująca system jest zdegenerowana. Dla macierzy kwadratowej jest to równoważne zanikowi wyznacznika:$$ \boxed{\det(H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}}) = 0} $$
To równanie jest wspomnianym wcześniej równaniem świeckim. I wartość własna$E^{(1)}$ zaburzenia determinuje korekcję energii, a rozwiązania równania współczynniki $c_{n^{'}}^{(0)}$.
Możliwe jest założenie rozszerzenia dla zdegenerowanej skrzynki, ale tylko wtedy, gdy używasz „właściwej” podstawy. „Właściwa” podstawa jest tą podstawą, która przekątuje zakłócenia w zdegenerowanej podprzestrzeni będącej przedmiotem zainteresowania. Wówczas, dzięki konstrukcji, w tej podprzestrzeni, tj. W nowej bazie z wektorami bazowymi, nie będzie wyrażeń poza przekątną$\vert\alpha_i\rangle$ po to aby $\hat V\vert\alpha_i\rangle=\lambda_i\vert\alpha_i\rangle$, ty masz $\langle \alpha _k\vert \hat V\vert \alpha_j\rangle=\delta_{kj}$ więc nigdy nie dzielisz przez $0$ ponieważ rozszerzenie nie obejmuje terminów gdzie $k=j$.
Jeśli użyjesz tej nowej podstawy, możesz postępować tak, jakby problem nie był zdegenerowany. Procedura nadal może się nie powieść, jeśli zakłócenia$\hat V$ma powtarzające się wartości własne w zdegenerowanej podprzestrzeni będącej przedmiotem zainteresowania; w tym przypadku nie ma nic do zrobienia, tj. nie będzie widocznej perturbacyjnej ekspansji dla pozostałych zdegenerowanych stanów.