Jakie jest znaczenie wyrażenia „ze względu na symetrię współczynników, jeśli $x=r$ jest zerem $x^4+x^3+x^2+x+1$ następnie $x=\frac1r$ jest również zerem ”

Question

Studiowałem odpowiedź na temat faktoringu $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

Autor mówi: „Czystszym podejściem algebraicznym jest zauważenie, że ze względu na symetrię współczynników, jeśli $x=r$ jest zerem $x^4+x^3+x^2+x+1$ następnie $x= {1\over r}$ jest również zerem ”

W końcu pisze $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Pytanie $1$: Jakie jest znaczenie symetrii współczynników?

Pytanie $2$: Czy możemy zrobić to samo dla $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Pytam, ponieważ ma to znaczenie dla mojego drugiego pytania:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

Answer 1

Lista współczynników$$x^4+x^3+x^2+x+1$$jest $(1,1,1,1,1)$, który jest symetryczny (jeśli go odwrócisz, otrzymasz tę samą listę). Innymi słowy, jest to lista typów$(a,b,c,b,a)$. I jeśli$r(\ne0)$ jest źródłem$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$następnie$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$i dlatego$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$też; innymi słowy,$\frac1r$ jest również źródłem $(1)$. Tak więc, chyba że jeden z korzeni jest$\pm1$ (które są jedynymi liczbami równymi ich własnym odwrotności), $(1)$można zapisać jako \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ left (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ left (x ^ 2- \ left (r '+ \ frac1 {r'} \ right) x + 1 \ right). \ koniec {multline}

W szczególności, $x^4-x^3+x^2-x+1$ można zapisać jako$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$W celu znalezienia $a$ i $b$, rozwiąż system$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Aby odpowiedzieć na pierwotne pytanie, proces myślenia wygląda następująco:

(1) Jeśli $r$ jest rozwiązaniem $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, następnie $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Podzielić obie strony przez $r^4$ dostajesz $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. W związku z tym$1\over r$ jest również rozwiązaniem.

(3) Stąd jeśli $(x-r)$ jest więc czynnikiem wielomianu $(x-{1\over r})$ jest również czynnikiem.

(4) Dlatego równanie można zapisać jako $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Dlatego można go zapisać jako $(x+ax+1)(x+bx+1)$