Jakie są liczby algebraiczne p-adyczne?

Question

"Dany $p$, jakie są elementy $\mathbb{Q}_p$ algebraiczne $\mathbb{Q}$? ”

Od czasu do czasu zastanawiam się nad tym i natrafiam na to zagadkowe pytanie, które wydaje się zadawać to samo. Wybrana odpowiedź nie wydaje się odpowiadać na to pytanie (które widzę), a wpisanie w wyszukiwarkę „p-adycznych liczb algebraicznych” zwraca to pytanie jako najwyższy wynik. W tym momencie poddaję się i czekam, aż zapomnę i spróbuję ponownie. Więc tym razem zapytam:

Czy znasz (wygodniejszą) charakterystykę $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ lub masz odniesienia do „$p$-adyczne liczby algebraiczne? "

Nie jestem pewien, czy istnieje charakterystyka „rzeczywistych liczb algebraicznych” o wiele bardziej satysfakcjonująca niż „rzeczywiste liczby algebraiczne”, ale p-adyczna wartość bezwzględna jest z natury bardziej „algebraiczna” niż rzeczywista wartość bezwzględna i istnieją różnice, ponieważ $p$ jest różna, więc czym one są?

Answer 1

Pozwolić $O_\overline{\Bbb{Q}}$ być algebraicznymi liczbami całkowitymi, weź maksymalny ideał $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ zawierający $p$, pozwolić $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, następnie $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ i $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ jest (izomorficznym do) podpolem $\overline{\Bbb{Q}}$ naprawione przez $G$.

Równoważnie niech $S$ być zbiorem (nieskończonego stopnia) rozszerzeń algebraicznych $K/\Bbb{Q}$ dla których jakiś maksymalny ideał $\mathfrak{p}\subset O_K$ jest taki, że $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Następnie$\Bbb{Z}_p$ jest (izomorficzny do) zakończenia $O_K$ w $\mathfrak{p}$, i $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ jest (izomorficzny do) dowolnego maksymalnego elementu $S$.