Jeśli analityczny $f$ spełnia którykolwiek z tych dwóch warunków, to jest stała

Question

Próbuję zadawać pytania z instytutu, w którym się nie studiuję. Uderzyło mnie te 2.

1. Jeśli $f$ jest funkcją rozróżnialną od regionu $X$ w $\mathbb{C}$ w $\mathbb{R}$ Udowodnij to $f$ jest z konieczności stała.

2. Jeśli $f$ i $\bar {f}$ są analityczne w regionie $X$ pokazują, że są one stałe w regionie $X$.

Próbowanie:

1. Region jest zawsze otwarty. A więc zakres$f$ musi być otwarte (twierdzenie o otwartym mapowaniu) ale $\mathbb{R}$ nie jest otwarty $\mathbb{C}$ nawet jeśli jest to singleton jako uzupełnienie $\{x\}$nie jest zamknięty. Więc nie wiem, jak mogę to udowodnić.

2. W przypadku 2 nie mam nic do pokazania, ponieważ jestem naprawdę zdezorientowany, z powodu którego wyniku użyć $\bar{f}$ w pytaniu.

Uprzejma pomoc.

Answer 1

Twój dowód na 1) jest poprawny. Dla 2), jeśli oba$f$ i $\bar{f}$ są holomorficzne (różniczkowalne), więc takie są $\mathrm{Re}(f)$ i $\mathrm{Im}(f)$, ale ich zasięg sięga $\Bbb{R}$. Przez to, co udowodniłeś w 1), oba te elementy muszą być stałe$f$ jest stała.