Kategoria z zerowymi morfizmami implikuje zero obiektu?
Pozwolić $\mathscr{A}$być kategorią. Wtedy to mówimy$\mathscr{A}$ to kategoria z zerowymi morfizmami, jeśli dla każdego $A,A'\in\mathscr{A}$ nie ma morfizmu zerowego $0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$, a morfizmy zerowe są zgodne z określonym diagramem przemiennym (patrz wiki ). Teraz przypuśćmy$\mathscr{A}$ ma obiekt zerowy $0$. Następnie$\mathscr{A}$jest kategorią z zerowymi morfizmami, a każdy zero współczynników morfizmu poprzez obiekt zerowy jest wyjątkowy. A co z rozmową? Gdyby$\mathscr{A}$jest kategorią bez morfizmów, czy koniecznie ma obiekt zerowy? Jeśli nie, czy jest jakiś prosty kontrprzykład (y)?
Odpowiedzi
Nie, kategoria bez morfizmów nie musi mieć obiektu zerowego. Prostym kontrprzykładem jest rozważenie niezerowego pierścienia$R$ traktowane jako kategoria jednoprzedmiotowa (nawet jednoprzedmiotowa $\text{Ab}$kategoria wzbogacona / pre-addytywna) lub bardziej ogólnie monoid z pierwiastkiem zerowym / absorbującym i co najmniej jednym innym elementem niezerowym (ale niezerowe pierścienie są fajne jako powszechny i znany przykład takich elementów).
Prawdą jest, że w przypadku kategorii bez morfizmów istnieje wyjątkowy sposób na dołączenie do niej obiektu zerowego, jeśli jeszcze go nie ma: ma ona unikalny morfizm do i od każdego innego obiektu, a każda kompozycja zawierająca te morfizmy wynosi zero. Ta konstrukcja jest lewym sprzężeniem włączenia (kategorii z zerowymi obiektami) do (kategorii z zerowymi morfizmami), gdzie w obu przypadkach morfizmy są funktorami, które zachowują zerowe morfizmy.
Ponadto, jeśli kategoria z zerowymi morfizmami ma obiekt początkowy lub końcowy, ten obiekt jest automatycznie obiektem zerowym, a funktor między dwiema kategoriami-z-zerowymi-obiektami, który zachowuje zerowe morfizmy, automatycznie zachowuje zero obiektów. Bardziej szczegółowo omawiam ten wpis na blogu .