Kategoria z zerowymi morfizmami implikuje zero obiektu?

Nov 26 2020

Pozwolić $\mathscr{A}$być kategorią. Wtedy to mówimy$\mathscr{A}$ to kategoria z zerowymi morfizmami, jeśli dla każdego $A,A'\in\mathscr{A}$ nie ma morfizmu zerowego $0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$, a morfizmy zerowe są zgodne z określonym diagramem przemiennym (patrz wiki ). Teraz przypuśćmy$\mathscr{A}$ ma obiekt zerowy $0$. Następnie$\mathscr{A}$jest kategorią z zerowymi morfizmami, a każdy zero współczynników morfizmu poprzez obiekt zerowy jest wyjątkowy. A co z rozmową? Gdyby$\mathscr{A}$jest kategorią bez morfizmów, czy koniecznie ma obiekt zerowy? Jeśli nie, czy jest jakiś prosty kontrprzykład (y)?

Odpowiedzi

17 QiaochuYuan Nov 26 2020 at 07:29

Nie, kategoria bez morfizmów nie musi mieć obiektu zerowego. Prostym kontrprzykładem jest rozważenie niezerowego pierścienia$R$ traktowane jako kategoria jednoprzedmiotowa (nawet jednoprzedmiotowa $\text{Ab}$kategoria wzbogacona / pre-addytywna) lub bardziej ogólnie monoid z pierwiastkiem zerowym / absorbującym i co najmniej jednym innym elementem niezerowym (ale niezerowe pierścienie są fajne jako powszechny i ​​znany przykład takich elementów).

Prawdą jest, że w przypadku kategorii bez morfizmów istnieje wyjątkowy sposób na dołączenie do niej obiektu zerowego, jeśli jeszcze go nie ma: ma ona unikalny morfizm do i od każdego innego obiektu, a każda kompozycja zawierająca te morfizmy wynosi zero. Ta konstrukcja jest lewym sprzężeniem włączenia (kategorii z zerowymi obiektami) do (kategorii z zerowymi morfizmami), gdzie w obu przypadkach morfizmy są funktorami, które zachowują zerowe morfizmy.

Ponadto, jeśli kategoria z zerowymi morfizmami ma obiekt początkowy lub końcowy, ten obiekt jest automatycznie obiektem zerowym, a funktor między dwiema kategoriami-z-zerowymi-obiektami, który zachowuje zerowe morfizmy, automatycznie zachowuje zero obiektów. Bardziej szczegółowo omawiam ten wpis na blogu .