Konkretny kontrprzykład dla niemarkowizmu przypadkowego spaceru słonia
Rozważmy losowy spacer słonia $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ określony przez $S_n:=X_1+\ldots+ X_n, n\in\mathbb{N},$ którego przyrosty $X_k:=S_k-S_{k-1}$, $k\ge 1$, są rekurencyjnie definiowane w następujący sposób:
- Dystrybucja $X_1$ jest dany przez $P(X_1=+1)=q\in(0,1)$ i $ P(X_1=-1)=1-q$.
- W dowolnym późniejszym czasie $n\ge 2$, losowo rysuje się indeks czasu będący liczbą całkowitą $k\in\{1,\ldots, n-1\}$ z jednakowym prawdopodobieństwem i pozwala $X_n:=X_k$ z prawdopodobieństwem $p$ i $X_n:=-X_k$ z prawdopodobieństwem $1-p$.
Proces został wprowadzony w https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0406593.pdfi został również przywołany w odpowiedzi na to pytanie: Przykład stochastycznego procesu innego niż Markowa? .
Czy ktoś ma konkretny kontrprzykład trajektorii procesu pokazujący niemarkowość procesu? Do tej pory próbowałem porównywać$P(S_3=1|S_2=0)$, $P(S_4=2|S_3=1)$, $P(S_4=0|S_3=1)$, $P(S_4=0|S_3=-1)$z warunkowymi prawdopodobieństwami odpowiednich możliwych pełnych trajektorii i nie mógł znaleźć żadnego kontrprzykładu. Jestem wdzięczny za dalsze pomysły, zwłaszcza że nie wykluczam możliwości popełnienia błędów obliczeniowych.
Odpowiedzi
O ile wiem, chociaż przypadkowy spacer słonia ma bardzo „niemarkovowski opis”, w rzeczywistości jest to łańcuch Markowa - choć nie jest to łańcuch jednorodny w czasie, a wiele osób mówiących o łańcuchach Markowa zakłada jednorodność. To jest,$$ \Pr[S_n = s_n \mid S_{n-1} = s_{n-1}, S_{n-2} = s_{n-2}, \dots, S_1 = s_1] = \Pr[S_n = s_n \mid S_{n-1} = s_{n-1}] $$ dla każdej możliwej trajektorii $(s_1, s_2, \dots, s_n)$. Jednak możliwe jest, że dla$m \ne n$, $$\Pr[S_n = x \mid S_{n-1} = y] \ne \Pr[S_m = x \mid S_{m-1} = y].$$
Oto moja logika. Jeśli chcemy obliczyć$\Pr[S_{n+1} = s+1 \mid S_n = s]$ (i podobnie $\Pr[S_{n+1} = s-1 \mid S_n = s]$wszystko, co musimy zrobić, to zdać sobie z tego sprawę, aby się do tego dostać $S_n = s$ w $n$ kroki, $\frac{n+s}{2}$ kroków musiało być $+1$ i $\frac{n-s}{2}$ kroków musiało być $-1$. To znaczy, gdy wybieramy losowo$k \in \{1,2,\dots,n\}$, mamy $\frac{n+s}{2n}$ szansa na wybranie $k$ z $X_k = 1$ i a $\frac{n-s}{2n}$ szansa na wybranie $k$ z $X_k = -1$. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje$$p \cdot \frac{n+s}{2n} + (1-p) \cdot \frac{n-s}{2n}$$ szansa na wybór $X_{n+1}=1$i dlatego otrzymujemy $S_{n+1} = s+1$.
Uwarunkowanie jakiejkolwiek innej historii łańcucha Markowa nie ma znaczenia: może nam powiedzieć, które kroki były$+1$ i które były $-1$, ale już wiemy, ile ich jest. Tak więc własność Markowa w rzeczywistości zawsze się utrzyma.
Jednak powyższy wzór zależy od $n$i nie tylko $s$. Jeśli dojdziemy do$s$ jak najwcześniej $n=|s|$, musieliśmy podjąć kroki, które wszystkie zmierzały w tym samym kierunku, więc mamy plik $p$szansa kontynuacji w tym kierunku. Jeśli dojdziemy do$s$ w znacznie późniejszym czasie $\frac{n+s}{2}$ i $\frac{n-s}{2}$ będą blisko siebie, a prawdopodobieństwo pójścia w dowolnym kierunku jest bliskie $\frac12$.
Nie ma więc ustalonego prawdopodobieństwa przejścia z$s$ do $s+1$ (lub z $s$ do $s-1$), czego byśmy chcieli, gdyby łańcuch Markowa był jednorodny w czasie.