Określ zbieżność szeregu.
Oto seria: $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$ Metodą, której używam do określenia tej serii, jest test porównawczy, który polega na konstruowaniu następującej sekwencji: $$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Który tworzy zbieżny szereg, w którym każdy wyraz jest większy niż wyrażenia w powyższym szeregu, więc ustalę, że powyższy szereg jest zbieżny. Jednak nie wiem, czy mam rację, czy nie. Dlatego jeśli się mylę, proszę powiedz mi, jak to zrobić poprawnie lub jeśli mam rację, potwierdź mnie lub podaj alternatywną metodę określenia zbieżności powyższych szeregów do dyskusji. Dzięki.
Odpowiedzi
Szczerze mówiąc, jeśli nie ma wyraźnej instrukcji użycia jakiegoś testu, wolę myśleć o tego rodzaju szeregach w kategoriach testu porównania granic (LCT) , zamiast testu porównawczego (CT).
Zwykłe oświadczenie LCT brzmi mniej więcej tak: Załóżmy, że $\{ a_n \}$ i $\{ b_n\}$ są sekwencjami z $a_n \ge 0$, $b_n > 0$ dla wszystkich $n$. Jeśli$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$ istnieje i jest niezerowe $\sum a_n$ i $\sum b_n$ zbiegają się razem lub rozchodzą się razem.
LCT mniej dba o kierunek nierówności (w przeciwieństwie do CT, gdzie trzeba zweryfikować pewne nierówności, które mogą być denerwujące), a bardziej o asymptotykę, co czyni ją o wiele potężniejszą. Jeśli chodzi o szukanie odpowiedniego$b_n$użyć jako punktu odniesienia? Zwykłym pomysłem jest przyjrzenie się terminom najbardziej dominującym (tj. Terminom, które najszybciej wybuchają w nieskończoność) w liczniku i mianowniku.
W twoim przykładzie dominującym terminem w liczniku jest $\sqrt{n}$, podczas gdy dominującym terminem w mianowniku jest $n^8$. Sugeruje to, że używamy$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, co rzeczywiście dobrze się tutaj sprawdza. Dostajemy$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$i wiemy $\sum b_n$ zbiega się przez $p$-test. Tak samo dzieje się w oryginalnej serii.
Ta metoda ma własną nazwę Test bezpośredniego porównania i stwierdza:
Jeśli seria $\sum b_n$ zbiega się i $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ za dostatecznie duże $ N \in \mathbb{N}, n> N$, następnie $\sum a_n$ aslo zbiega się.
Trzyma $\sum a_n \leqslant \sum b_n$ jeśli porównanie jest $\forall n \in \mathbb{N}$.
Jeśli $\sum a_n$ różni się więc $\sum b_n$ jest rozbieżne.
W książce: Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey - Intermediate Calculus-Springer (2012) - strona 105, Theorem 9.
Twoje rozwiązanie jest w porządku, ale czujesz się trochę niepewnie, pokażę, dlaczego test działa: seria $\sum_{k= 1}^\infty a_k$z definicji stanowią granicę ciągu jego sum częściowych $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, dla $s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.
Kiedy każdy $a_k$ jest dodatnia niż sekwencja $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$jest sekwencją dodatnich liczb rzeczywistych, która jest ściśle rosnąca, dzięki czemu można wykazać, że zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczona .
Jeśli $a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$ wtedy łatwo to zobaczyć $0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$ dla każdego $k\in \mathbb N $, a więc
$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$
$\Box$