Parowanie BCS i para BEC między Fermionami
Wskazuje to w wielu notatkach do wykładów
Możemy dostroić długość rozpraszania, używając rezonansu Feshbacha, aby zrealizować przejście z BCS na BEC w zdegenerowanych gazach Fermiego. Gdy długość rozpraszania jest ujemna (dodatnia), otrzymujemy parowanie BCS (BEC).
W moim rozumieniu parowanie BCS to para Coopera z zerowym momentem netto z powodu przybliżenia BCS. Parowanie BEC to tryb kolektywny z Random Phase Approximation, który jest superpozycją pary Coopera o niezerowym pędzie.$$\hat{b}_{q}=M_{pq}\hat{c}_{\downarrow q+\frac{p}{2}}\hat{c}_{\uparrow q-\frac{p}{2}}-N_{pq}\hat{c}^{\dagger}_{\uparrow -q-\frac{p}{2}}\hat{c}^{\dagger}_{\downarrow -q+\frac{p}{2}}$$ gdzie $\hat{c}$ unicestwia Fermiona.
Jeśli dobrze rozumiem, premiami w obu przypadkach są pary Coopera. Istnienie par Coopera opiera się na atrakcyjnej interakcji między cząsteczkami Fermionu. Zatem para BEC wymaga również ujemnej długości rozpraszania.
Niektóre zdjęcia w tych notatkach do wykładów pokazują,
kiedy następuje parowanie BEC, dwa fermiony tworzą cząsteczkę
co sugeruje, że rozumiem parowanie BCS i parowanie BEC powyżej, jest nieprawidłowe. Jednak wciąż nie mogę sobie wyobrazić, jak odpychająca interakcja może spowodować powstanie cząsteczki.
Więc moje pytania to:
- co to jest parowanie BCS lub parowanie BEC
- jak znak długości decyduje o parowaniu BCS lub parowaniu BEC
Odpowiedzi
Jedna z najlepszych definicji BEC pochodzi z (przekątna w podstawie $\{\chi_i\}$) matryca gęstości pojedynczych cząstek $\rho_1$: $$ \rho_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \sum_i n_i \chi^\ast _i (\mathbf{r})\chi_i (\mathbf{r}').$$
- Jeśli $n_i$ jest rzędu 1 dla wszystkich $i$;, to jesteś w stanie „normalnym” (nie skondensowanym przez Bose);
- Jeśli jedna ( dokładnie jedna) wartość własna$n_i$ jest w porządku $N$(całkowita liczba cząstek), podczas gdy inne są w porządku jedności, masz (prosty) BEC. Ten konkretny stan własny ma makroskopowe zajęcie;
- Jeśli więcej niż jedna wartość własna jest rzędu $N$, masz pofragmentowany BEC.
W przypadku systemu Fermiego zasada wykluczenia Pauliego natychmiast zabrania jakiejkolwiek wartości własnej przekraczającej jedność, więc nie może wystąpić BEC w sensie dosłownym .
Chociaż możesz się zastanawiać: a co, jeśli skonstruujemy macierz gęstości ze stanów dwucząstkowych (zamiast stanów jednocząsteczkowych)? Stany dwucząstkowe mogą być cząsteczkami dwuatomowymi lub parą Coopera (obie byłyby niestabilne, jeśli nie ma niezerowej siły oddziaływania). W takim przypadku możesz mieć wartość własną porządku$N$ a więc prosty (lub nawet fragmentaryczny) „BEC”.
Ale BEC, w dosłownym sensie, polega na:
- Makroskopowe zajęcie (lub kilku) stanu pojedynczej cząstki;
- Systemy niewspółdziałające. Przejście BEC jest napędzane przez statystyki, a nie interakcje.
Zatem znowu, to, co nazywamy „BEC” w kontekście fermionów, nie jest dosłownie i rygorystycznie dokładne.
Ale w każdym razie.
Powiedzmy, że zaczynasz od rozcieńczonego gazu fermionowego, który oddziałuje słabo i odpychająco. Siła oddziaływania jest wystarczająco słaba (a gaz jest dostatecznie rozcieńczony), tak że wystarczy związać tylko dwa atomy w cząsteczce. Cząsteczka zachowuje się jak bozon iw wystarczająco rozcieńczonym gazie możemy zaniedbać interakcje międzycząsteczkowe, abyśmy mogli mieć BEC cząsteczek (tak, nadal możesz mieć stany związane ze słabo odpychającymi interakcjami). Ten rodzaj zaznacza oba powyższe pola, ponieważ jest to stan pojedynczej „cząsteczki” (cząsteczki) i nie oddziałuje (w przybliżeniu). Należy zauważyć, że fermionowa natura podstawowych składników nie ma znaczenia (poza umożliwieniem tworzenia cząsteczki), ponieważ przy słabych oddziaływaniach i małych gęstościach promień stanu związanego jest większy niż rozmiar atomu.
Teraz spraw, aby interakcja (nadal słaba) była atrakcyjna, aby zwiększyć gęstość gazu. Cząsteczki zaczynają się nakładać (odległość międzycząsteczkowa <promień molekularny), więc nie można już ignorować interakcji międzycząsteczkowych. Rzecz w tym, że system zaczyna gęstnieć. Funkcje fal nakładają się i nie możesz mieć wyraźnych i wyraźnych cząsteczek dwuatomowych, które miałeś wcześniej. Nie wiesz dokładnie, z którym atomem jest sparowany. W tym reżimie „cząsteczki” nazywane są parami Coopera .
Jest to obrazowo pokazane poniżej (zdjęcie zrobione stąd ), gdzie elipsy pokazują „zakres” parowania i wiązań:

Powyższa dyskusja w dużej mierze podąża za książką Leggetta Quantum liquids , więc pozwólcie mi zakończyć bezpośrednim cytatem:
To, czy myślimy o procesie kojarzenia Coopera jako o rodzaju BEC, czy o czymś zupełnie innym, jest być może kwestią gustu; Należy jednak pamiętać, że różni się on jakościowo od BEC rozcieńczonych cząsteczek difermionowych […].
Krótka bezpośrednia odpowiedź na Twoje pytania to:
- co to jest parowanie BCS lub parowanie BEC
W kontekście krzyżowania BCS-BEC, wasze „pary BEC” byłyby cząsteczkami dwuatomowymi utworzonymi z dwóch fermionów. Ta cząsteczka zachowuje się jak bozon, ponieważ w oddziaływaniach słabych i granicy rozcieńczenia jej rozmiar jest większy niż promienie atomowe, tak że fermionowa natura jej składników nie ma znaczenia dla dynamiki rozpraszania. Innymi słowy, możesz traktować tę „parę” jako pojedynczą cząsteczkę (cząsteczkę) i możesz ją skondensować Bose.
Pary BCS to pary Coopera. Kiedy rozmiar pary obejmuje znacznie większy obszar niż sam atom, nie można wiedzieć, z jakimi innymi atomami jest sparowana. Więc nie masz wcześniej klarownych systemów kompozytowych, takich jak cząsteczki dwuatomowe. Ta idea elektronów w parze Coopera jest zwykle nadmiernie uproszczona i prowadzi do nieporozumień. Cytując samego Johna Bardeena („B” w BCS):
Idea sparowanych elektronów, choć nie do końca dokładna, oddaje jej sens.
- jak znak długości decyduje o parowaniu BCS lub parowaniu BEC
Różnica polega na rozciągłości przestrzennej pary (cząsteczki lub Cooper) w odniesieniu do odległości między parami. Możesz także mieć pseudo-BCS / BEC z atrakcyjnymi interakcjami i różnicowaniem samej gęstości.
W przypadku eksperymentalnych zimnych atomów po prostu okazało się, że słabe wartości dodatnich i ujemnych sił oddziaływań dały użyteczny diagram fazowy:
