Pokaż oczekiwanie minimum zatrzymanego martyngału wynosi $-\infty$

Aug 15 2020

Rozważmy martyngał chodu przypadkowego $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ gdzie $X_k$ są jednolicie ograniczone, to znaczy z $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Pozwolić$a>0$ i nastaw $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Pokazują, że$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.

Myślałem o zdefiniowaniu $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ i używając martyngału $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Otrzymamy wtedy (używając MCT i ograniczania i$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. To sugeruje$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Nie jestem pewien, jak mam teraz postępować.

Odpowiedzi

1 StephenMontgomery-Smith Aug 16 2020 at 18:08

Co powiesz na to?

Dla każdego $N < \infty$, przez opcjonalne twierdzenie o próbkowaniu, mamy $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. I$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ tak jak $N, k \to \infty$.

Więc $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ zbiega się do liczby ujemnej jako $N,k \to \infty$.

Pozwolić $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Teraz$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Gdyby$E(U) > -\infty$, następnie $E(U I_{U < -k}) \to 0$ tak jak $k \to \infty$, co jest sprzecznością.