Pokazują, że $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ ma unikalne rozwiązanie $\mathbb{R}$

Aug 15 2020

Pokazują, że $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ ma unikalne rozwiązanie $\mathbb{R}$.

Jest to efekt uboczny jednego z problemów przedstawionych w Berkeley Problems in Mathematics.

Moje rozwiązanie (próba) jest znacznie krótsze niż to przedstawione przez autorów (pokazują, że w jakimś sąsiedztwie $(0,54)$ używając lokalnej wersji twierdzenia Picarda, a następnie użyj IFT, aby znaleźć jawne rozwiązanie dla tego sąsiedztwa i udowodnić, że to rozwiązanie jest poprawne na $\mathbb{R}$), więc chciałem sprawdzić, czy czegoś nie przeoczyłem.

Oto moje rozwiązanie:

Pozwolić $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Naprawić$h >0$. Według podstawowych własności funkcji ciągłych$f$ jest ciągły $[-h,h] \times \mathbb{R}$ a ponadto Lipschitz in $y$na tym pasku. Wynika to z:

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ i MVT.

Twierdzenie Picarda ma zastosowanie i widzimy, że IVP ma unikalne rozwiązanie $[-h,h]$.

Ale $h$ było arbitralne, więc IVP ma rozwiązanie dla wszystkich $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Czy to jest poprawne? Ogólnie nie jestem pewien, jak udowodnić wyjątkowość / istnienie globalnych rozwiązań ... analityczna kontynuacja czy globalny Picard ?!


Zauważ, że wersja twierdzenia Picarda, której używam, to

IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, ma unikalne rozwiązanie $\mathbb{R}$ opatrzony, $\forall h:$

  • $f$ jest ciągły $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

  • $f$ jest Lipschitz in y on $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

Odpowiedzi

LutzLehmann Aug 15 2020 at 22:26

Twój pomysł jest poprawny. Dzięki nieliniowej prawej stronie otrzymujesz globalne rozwiązanie. Idea dowodu jest badana na przykład w

  • Istnienie rozwiązania pierwszego rzędu ODE. Co jest do udowodnienia?
  • Nierówność w dowodzie unikalnego rozwiązania ODE

Problem z twoim źródłem może polegać na tym, że nie dołożyli starań, aby udowodnić tę bardziej globalną wersję twierdzenia po standardowej zlokalizowanej. Dlatego muszą złożyć rozwiązanie z wielu lokalnych rozwiązań.

Zauważ, że dzięki sformułowaniu twojego stanu, otrzymasz tylko rozwiązanie $[a-h,a+h]$, co nie powinno być zaskoczeniem, ponieważ jest to badana dziedzina ODE.