Pozwolić $x_0$być liczbą transcendentalną, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Jaki jest limit $x_n$?

Jan 15 2021

Pozwolić$x_0$być liczbą transcendentalną,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$Jaki jest limit$x_{n}$?

Wybierać$x_0=\pi$i wydaje się, że granica$x_n$jest$-1$. Ale jaki jest na to dowód?$\pi$i inne liczby? Pozwolić$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Pomocne mogą być poniższe.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Odpowiedzi

VarunVejalla Jan 15 2021 at 21:05

Pozwolić$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Jeśli$\lim x_n$istnieje, więc$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, więc ustaw$$L=f(L)$$

Są na to trzy rozwiązania:$L = -3, -1, 1$. Aby znaleźć właściwy, zwróć uwagę, że dla małej okolicy w okolicy$-3$, ty masz$|f(x)+3|>|x+3|$, i na około$1$, ty masz$|f(x)-1|>|x-1|$. Dla obu$-3$oraz$1$, różnica będzie jeszcze większa. Na około$-1$z drugiej strony masz$|f(x)+1|<|x+1|$, więc różnica jest coraz mniejsza (nie jest to rygorystyczny dowód, ale bardziej intuicyjny).

Tak więc dla „większości”$x_0$, zbiegnie się do$-1$. Jedyny sposób, w jaki zbiegnie się do$-3$lub$1$jest, jeśli zbiega się dokładnie w skończonej liczbie iteracji. Ale żeby to było prawdą, musi to być rozwiązanie$$f^n(x_0) = -3$$(lub$1$) dla niektórych$n$, co oznacza, że ​​musi być algebraiczny. Dlatego dla wszystkich transcendentalnych granica będzie:$-1$.