Prawdopodobieństwo bycia w grupie w zespole

Aug 16 2020

Minęło trochę czasu, odkąd chodzę do szkoły, więc moja matematyka jest naprawdę zardzewiała.
Jest gra, w którą gram, w której jest grupa dziesięciu graczy, a dwóch jest losowo wybranych jako „oszuści”.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanę wybrany na jednego z oszustów?

Rozumowałem to następująco:
Liczba sposobów bycia oszustem =$\binom{1}1$.
Liczba sposobów na wybranie drugiej osoby jako oszusta =$\binom{9}1$.
Całkowita przestrzeń próbki =$\binom{10}2\binom{8}8$.

Więc prawdopodobieństwo, że jestem oszustem, wynosi $$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$

Kiedy spojrzałem $m$ oszuści i $n$ graczy, użyłem tej samej logiki, aby uzyskać ostateczne prawdopodobieństwo $\frac{m}{n}$. Z jakiegoś powodu nie spodziewałem się takiego wyniku (że będzie to po prostu stały stosunek). Czy jest w tym jakaś intuicja? Spodziewałem się, że wynik będzie mniejszy niż$m/n$, ponieważ wydaje się, że jest tak wiele permutacji do wybrania zespołu $m$ oszuści (na przykład if $m = 10$, $n = 140$)

Odpowiedzi

1 Ekin Aug 16 2020 at 17:27

Licznik jest nieprawidłowy: szukasz sposobu, w jaki jesteś jednym z oszustów. Możliwości jest 9, a mianowicie ty i ktoś inny, gdzie spośród 9 osób wybierany jest ktoś inny. Zauważ, że kolejność Ciebie i drugiej osoby nie jest ważna, więc wystarczy wybrać drugą osobę.

Edycja: Ogólnie masz $n$ osób (w tym Ciebie) i $m$ oszuści.

Prawdopodobieństwo, że jesteś oszustem, wynosi: $\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. Licznik to znowu liczba oszustów poza tobą, a mianownikiem jest znowu wybór oszustów bez żadnych dalszych ograniczeń.

Moim zdaniem jest to w rzeczywistości bardzo intuicyjne - m na n osób to oszuści, więc masz $m/n$prawdopodobieństwo bycia oszustem. To jest coś w rodzaju „1 na 300 osób ma koronawirusa, więc prawdopodobieństwo, że go masz (z bardzo obiektywnego punktu widzenia - w ogóle cię nie znam) wynosi 1/300”.