Przełączanie pochodnej z jednej funkcji na drugą wewnątrz całki [duplikat]

Question

Pozwolić $\Omega \subset \mathbb{R^n}$ być otwarte i ograniczone $\partial \Omega$wystarczająco gładkie. Pozwolić$u \in C^k(\bar{\Omega})$ i $\phi \in C_0^\infty (\Omega)$dla dodatniej liczby całkowitej k. Pokazują, że:$$ \int_\Omega uD^{\alpha}\phi dx = (-1)^{|a|}\int_{\Omega}\phi D^\alpha udx $$ dla dowolnego multiindeksu $\alpha$ z $|\alpha| <k$.

Dla mnie ten problem wygląda jak zastosowanie jednego z fundamentalnych twierdzeń rachunku różniczkowego (stoke'a, dywergencja itp.). Jednak mogę się mylić. Próbowałem rozwiązać LHS, ale nie mogłem dostać się do RHS.

Answer 1

Jest to całkowanie przez części, jeśli założymy, że wszystkie pochodne $\phi$ idź do zera na granicy.