Rozkład widmowy a ekspansja Taylora

Nov 30 2020

To pytanie oraz otrzymane komentarze i odpowiedzi zachęciły mnie do zadania tego pytania, chociaż wiem, że znajdą się osoby, które uznają, że to należy do forum matematycznego. Ale myślę, że ten temat jest bardziej odpowiedni dla fizyków matematycznych niż dla zwykłych matematyków.

Motywacja: Jedna z odpowiedzi na to pytanie wyjaśnia, że jeśli$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ ma odpowiednią funkcję i $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$jest odpowiednim operatorem, możemy zdefiniować \ begin {equation} f (A): = \ int _ {\ mathbb C} f \, \ mathrm {d} P_A \ end {equation} gdzie$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$jest miarą. Jednak znacznie łatwiej jest zrozumieć definicję w kategoriach zbieżnych szeregów, np. W przypadku wykładniczej lub logarytmu. (W fizyce statystycznej$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ jest entropią, kiedy $\rho$jest operatorem gęstości ). Dlatego chciałbym wiedzieć:

Czy można też pisać $f(A)$ pod względem zbieżnej serii, kiedy $f$czy w którymś momencie nastąpiła ekspansja Taylor ?

W przypadku, gdy odpowiedź brzmi tak, zastanawiam się również, czy istnieje stosunkowo łatwy sposób sprawdzenia, jak całka i szereg są równoważne. (O ile wiem, całki - nawet$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ - można wyrazić jako granicę jakiejś serii, więc może to byłby dobry punkt wyjścia).

Przykłady: Wyrażenie \ begin {equation} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} A ^ n \ end {equation} ma sens kiedykolwiek$A$ jest elementem całkowicie znormalizowanej przestrzeni i zbiega się do $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ gdy $A$jest odpowiednim operatorem ( źródło ).

Wiadomo nawet, że \ begin {equation} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ N (-1) ^ {k + 1} \ frac {(A- \ text {id}) ^ k} {k} \ right) _ {N \ in \ mathbb N} \ end {equation} zbiega się do$\text{ln}(A)$w pewnych okolicznościach (patrz tutaj i tutaj ), więc zastanawiałem się, czy istnieje ogólna zasada. To znaczy, jeśli mamy \ begin {equation} f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xb) ^ n, \ end {equation} w sąsiedztwie$b$, czy \ begin {equation} f (A) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (Ab \ cdot \ text {id}) ^ n? \ end {equation}

Odpowiedzi

9 ValterMoretti Dec 01 2020 at 01:17

Jeśli operator $A$ należy do $B(H)$ (przestrzeń wszędzie zdefiniowanego operatora ograniczonego w przestrzeni Hilberta $H$) i jest normalne: $$A^*A=AA^*$$ następnie dopuszcza rozkład widmowy $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ i, z oczywistym zapisem, $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$.

W tym przypadku (a także w ogólnym przypadku, gdy $A$ jest nieograniczony (gęsto zdefiniowany, zamknięty, normalny)), $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ dla każdej mierzalnej funkcji Borela $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$. W tym przypadku odpowiedź jest stosunkowo łatwa.

Propozycja .

Pozwolić $A \in B(H)$ bądź normalny i rozważ $f: \Omega \to \mathbb{C}$ funkcja analityczna na otwartym zbiorze $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$.

Jeśli $z_0 \in \Omega$ i ekspansja Taylora $f$ na około $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ ma promień zbieżności $R+\epsilon$ dla niektórych $\epsilon>0$, i w końcu $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ następnie $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ gdzie zbieżność prawej strony jest w normie $B(H)$.

DOWÓD . Zaczynamy od nierówności $$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ który jest ważny, jeśli $g$jest mierzalna i ograniczona metodą Borela. Ta nierówność jest prawdą, nawet jeśli$A$ nie jest ograniczona.

Wykorzystując tę nierówność, którą mamy $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ dla $N\to +\infty$ponieważ zbieżność rozwinięcia Taylora jest jednolita w każdym zwartym dysku zbieżności. Zauważ, że$\sigma(A)$ jest rzeczywiście kompaktem zawartym w $C_{R+\epsilon}(z_0)$.

Korzystanie z definicji $g(A)$dlatego mamy to $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ w odniesieniu do normy $B(H)$. Innymi słowy, jeśli$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$ w tej topologii. Taka jest teza. CO BYŁO DO OKAZANIA

Istnieją inne wyniki, które można udowodnić w analogiczny sposób i które obejmują przypadek $A$nieograniczony (gęsto zdefiniowany, zamknięty i normalny). Jeśli $\psi$ należy do przestrzeni projekcyjnej $\int_{E} 1 dP(z)$, gdzie $E \subset C_{R}(z_0)$ jest ograniczonym zbiorem borelowskim (więc $\psi$ jest wektorem analitycznym $A$), następnie $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ gdzie teraz zbieżność jest w normie przestrzeni Hilberta.