Rozplątywanie wykładnicze operatorów liczb oraz operatorów tworzenia i anihilacji
Czy istnieje sposób na rozdzielenie wykładniczej sumy liczby, anihilacji i operatora tworzenia? Na przykład,
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
gdzie $G$, $A$, i $B$ są każdą funkcją możliwie wszystkich trzech parametrów $\alpha$, $\beta$, i $\gamma$.
Odpowiedzi
Nie odpowiedź, ale rozszerzony komentarz na temat twojego zasadniczo rozsądnego podejścia, ponieważ format komentarza nie pozwala na takie rozszerzone komentarze. Zaangażowana grupa to grupa oscylatorów , a znaleziony reprezentant 3d jest wierny, więc każda relacja grupowa będzie również obowiązywać dla grupy abstrakcyjnej w ogóle, więc wszystkie reprezentacje ! Nazwę twój centralny element C odpowiedzi Z i może on odfiltrować wszystkie wyrażenia, dojeżdżając do pracy ze wszystkim.
Ogólne stwierdzenie poparte twierdzeniem Liego jest takie, że iloczyn wszystkich elementów grupowych będzie bliski wykładniczemu pewnej liniowej kombinacji wszystkich generatorów w algebrze Liego , więc$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$Ponieważ jednak Z dojeżdża ze wszystkim, możemy odwrócić pierwszy współczynnik z lewej strony w prawo i włączyć go do nowego parametru$\phi'-\theta=\phi$więc to $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ gdzie parametry $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ są gwarantowane jako funkcje $G,A,B$.
Teraz, przez zerową moc pierwszych trzech generatorów i po przekątnej czwartego, lewa strona trywialnie ocenia $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ z wyznacznikiem $e^{A/2}$.
To musi się równać $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ Jej wyznacznikiem jest $e^{\alpha/2}$ przez tożsamość $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.
Teraz, do drugiego rzędu w swoich parametrach, rozszerza się do $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
W porównaniu z powyższym dyktuje lewostronny, do drugiego rzędu, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ ale wtedy zdajesz sobie sprawę, że wpis znajdujący się najbardziej po prawej stronie jest niedopasowany i wymaga nieznikającego elementu $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$podnieść luz. Trzeba było iść do drugiego zamówienia, aby to zobaczyć, ponieważ potrzebujesz co najmniej jednej komutacji$[a,a^\dagger]$ do wytworzenia centralnego elementu.
A więc wtedy, $\phi$w rzeczywistości jest niezbędne w zmienionym wyrażeniu (*): nie jest to stopień swobody, który można pominąć. Przepraszamy (razem z Pascalem) za brak czasu na skrócenie komentarza.
Myślę, że znalazłem metodę wykorzystującą odpowiedzi na te dwa pytania:
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
Jak działa rozplątywanie i zmiana kolejności operatorów wykładniczych?
Możemy zmapować następujące macierze do operatorów drabinkowych:
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
Macierze A, B, C, D spełniają relacje komutacji operatorów drabinkowych. Następnie oceń lewą i prawą stronę za pomocą tych macierzy i dopasuj współczynniki. Wydaje się, że to działa, ale chciałbym potwierdzić, że jest to właściwe podejście, ponieważ nie mam doświadczenia z algebrami kłamstw.