Rozwiązanie do generowania funkcji, ćwiczenie 1a.
Pytanie brzmi:
- Znajdź zwykłe funkcje generujące szereg mocy każdej z poniższych sekwencji w prostej, zamkniętej formie. W każdym przypadku kolejność jest zdefiniowana dla wszystkich$n\geq0$. (za)$a_n=n$
To jest funkcja $A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, które przepisuję jako: $A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$
Każdy z terminów jest serią geometryczną, więc napisałem to jako
$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$
Dlatego moja odpowiedź brzmiałaby $A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Jednak klucz odpowiedzi na końcu książki mówi, że odpowiedź brzmi „$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". Chociaż moja funkcja generująca wygląda jak prawa strona klucza odpowiedzi, nie rozumiem, co oznacza LHS. Czy jest coś, czego tu brakuje?
Odpowiedzi
Plik $LHS$jest po prostu innym sposobem na uzyskanie tej samej funkcji generującej, którą znalazłeś. Mówi: weź pochodną$1/(1-x)$ a następnie pomnóż przez $x$.