Rozwiązywanie równań nieliniowych postaci $\mathbf x = A f(\mathbf x)$
Pozwolić $A$ być prawdziwym, nieodwracalnym $n\times n$matryca. Jestem zainteresowany znalezieniem wektorów$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ które rozwiązują następujące równanie:
$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$
gdzie $\tanh$jest stosowany elementarnie. Mówiąc bardziej ogólnie, możemy rozważyć inne rodzaje nieliniowości zamiast$\tanh$ (ale zawsze stosowane w elementach).
Czy istnieje ogólne podejście do badania rozwiązań tego typu równań? Prawdopodobnie wykorzystując rozkład własny$A$?
Dodałem tag „prośba o referencje” na wypadek, gdyby ktoś mógł zasugerować odpowiednie odniesienia do literatury.
Odpowiedzi
W przypadku 2D równanie przyjmuje postać $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$
i po usunięciu $y$, otrzymujemy jednoczynnikowe równanie nieliniowe $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ Nie widzimy żadnego szczególnego uproszczenia ani połączenia z wartościami własnymi.
Widziałem przypadki numeryczne z czterema różnymi pozytywnymi rozwiązaniami.