Stała Feigenbauma

Mój ostatni artykuł był bardzo krótkim wprowadzeniem do teorii chaosu, gdzie pisałem głównie o efekcie motyla , czyli koncepcji, od której zaczęła się teoria chaosu. Wcześniej omawiałem wykres populacji w jednym z moich artykułów . Opisałem wykres jako fraktal zwany „drzewem figowym”. Wspomniałem też, że fraktale są częścią teorii chaosu. Jak więc chaos ostatecznie tworzy ten wykres?

Istnieje naprawdę słynna stała, która jest wymieniana wraz z innymi znanymi stałymi matematycznymi, takimi jak π, sqrt{2}, e, i itd. Osobiście nigdy wcześniej o niej nie słyszałem, aż do niedawna. Ta stała nazywa się „ Stałą Feigenbauma ”, jej wartość wynosi δ = 4,6692016……., co oznacza, że ​​jest niewymierna jak π lub e. Istnieją dwie stałe Feigenbauma. Drugi nazywany jest symbolizowany jako α, ale to już inna historia, której nie będę omawiał w tym artykule.

Około lat 70. naukowiec Robert May napisał artykuł, w którym zapisał równanie modelujące wzrost populacji. Równanie jest następujące:

W tym przypadku x_(n+1) to populacja w przyszłym roku, x_n to populacja obecna, a λ to dzietność. To równanie jest mapą logistyczną lub po prostu funkcją wzrostu populacji. Zasadniczo, używając tego równania, możemy przewidzieć, jaka będzie populacja społeczności w przyszłym roku. Powiedziałem, że λ jest jak płodność populacji. Tak więc, jeśli jego wartość jest wysoka, mamy do czynienia z wysoką hodowlą, ale jeśli jest niska, mamy do czynienia z niską hodowlą. Wartość λ wynosi od 0 do 1, gdzie 0 oznacza brak rozmnażania, a 1 oznacza pełne rozmnażanie.

Teraz naukowcy, którzy byli zainteresowani wzrostem populacji, powtórzyli ten wykres, aby obserwować zmiany populacji w przyszłości. W RHS lub po prawej stronie danego równania x_n to życie, podczas gdy (1 — x_n) to śmierć.

Dobra. Weźmy teraz dowolną wartość dla x_1. Niech to będzie 0,5, czyli niech populacja będzie o połowę mniejsza. Przyjmuję wartość λ jako 2,3.

Jeśli więc za pomocą równania obliczymy populację w kolejnych latach, czyli x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, będzie

odpowiednio 0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652.

Można zaobserwować, że wartość stała się stała. Innymi słowy, wzrost liczby ludności ustabilizował się. Nazywa się to stałym punktem w iteracji.

Co się stanie, jeśli zmienimy λ. Wybierzmy bardzo małe λ, gdzieś między 0 a 1. Powiedzmy, że 0,65. Intuicyjnie jest oczywiste, co się stanie, jeśli płodność będzie bardzo niska. Ale nadal obliczajmy zachowanie x_1 jako 0,5. Ponieważ obliczyłem x_2, x_3, x_4….. obliczyłem następujące wartości.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0002

Populacja jest martwa.

Co by się stało, gdybym przyjął wyższą wartość płodności, powiedzmy 3,2?

Obliczyłem to ponownie z x_1 jako 0,5, po wielu iteracjach zauważyłem, że wartości szły tak,

0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304,… Populacja jest stabilna, ale stabilna przy 2 wartościach.

Teraz wezmę starannie wybraną wartość λ, czyli 3,5.

Przy x_1 równym 0,5, ponownie przechodząc przez obliczenia, zauważyłem, że wartości po wielu iteracjach zachowywały się tak,

0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,0,9,6,8281, 4

Tym razem wartość jest stabilna na poziomie 4 wartości.

Teraz zróbmy wykresy ze wszystkich przypadków, które widzieliśmy.

a) Kiedy populacja się ustabilizowała

b) Kiedy wymarła populacja

c) Kiedy populacja odbijała się między dwiema wartościami

d) Kiedy populacja odbijała się między czterema wartościami

Teraz, mając wyniki, które mamy, sporządzimy wykres z λ na osi x i populacją na osi y. Oto, co otrzymasz:

Gdy λ = 3,2 otrzymaliśmy dwie iterujące wartości. Można więc zauważyć, że graf rozwidla się w tym miejscu. „Rozwidlenie” to po prostu wyrafinowany sposób na powiedzenie, że wykres się rozwidla. Podobnie, przy około 3,5, ponownie rozdziela się na cztery. To trwa, ale w znacznie szybszym tempie. Wykres rozwidlałby się teraz jeszcze szybciej, przy bardzo małych zmianach samej λ. Po chwili wykres pokazuje coś niezwykłego, gdy idziemy dalej w prawo. Ale zanim to nastąpi, pozwól mi zdefiniować, od czego zacząłem ten artykuł, czyli od stałej Feigenbauma.

Jak pokazano na powyższym diagramie, jeśli wezmę dowolne dwie kolejne długości każdego rozwidlenia wykresu i znajdę jego stosunek, otrzymałbym stałą wartość niewymierną, 4,6692016…….

To jest stała Feigenbauma. Mówi, że długość bifurkacji wynosi 4,6692016……. razy mniejszy od poprzedniego. Feigenbaum odkrył, że jeśli weźmiesz dowolne równanie kwadratowe, takie jak równanie populacji, możesz stworzyć wykres podwojenia okresu, po prostu bawiąc się parametrami. A biorąc stosunek długości dwóch kolejnych bifurkacji, otrzymasz tę samą liczbę dla dowolnego równania kwadratowego.

Poniżej przedstawiono losy wykresu po około λ = 3,59.

Wykres staje się szalony, a raczej chaotyczny. Chociaż ten wykres został odkryty jeszcze przed poznaniem teorii chaosu. Ta stała i wykres były zatem często używane podczas jej badania. Chaos jest wrażliwy na warunki początkowe, które powodują ogromne zmiany, co wyjaśnia efekt motyla. Podobnie tutaj, bardzo mała zmiana λ może spowodować szalone zmiany na wykresie. Wraz z efektem motyla był to początek teorii chaosu.