Udowodnij, że dla niezależnych zmiennych losowych $X_i$, mamy $f_i(X_i)$ są niezależne.
Widziałem wiele postów opisujących przypadek tylko dla 2 zmiennych losowych.
Niezależne zmienne losowe i ich funkcja
Czy funkcje zmiennych niezależnych są również niezależne?
Jeśli $X$ i $Y$ są wtedy niezależni $f(X)$ i $g(Y)$ są również niezależne.
Jeśli $X$ i $Y$są niezależne. Co powiesz na$X^2$ i $Y$? A co z$f(X)$ i $g(Y)$?
Czy kwadraty niezależnych zmiennych losowych są niezależne?
Udowodnij, że jeśli $X$ i $Y$ są więc niezależni $h(X)$ i $g(Y)$są niezależne w prawdopodobieństwie BASIC - czy możemy użyć podwójnej integracji? (och, właściwie zapytałem tutaj o dwie zmienne podstawowe, ale nie ma odpowiedzi)
Nie widziałem jeszcze postu opisującego sprawę przez co najmniej 3 .
Proszę odpowiedzieć w 2 sytuacjach
1 - dla zaawansowanej teorii prawdopodobieństwa:
Pozwolić $X_i: \Omega \to \mathbb R$ być niezależnymi zmiennymi losowymi w $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$. Pozwolić$i \in I$dla dowolnego zestawu indeksów, który myślę (a może musi być policzalny). Oczywiście, załóżmy$card(I) \ge 3$. Więc Pokaż$f_i(X_i)$są niezależne. Daj warunki dotyczące$f_i$ takie że $f_i(X_i)$jest niezależna. Wyczytałem w powyższych postach, że warunek jest „mierzalny”, co chyba oznacza$\mathscr F$- mierzalne, ale mógłbym przysiąc, że przeczytałem wcześniej, że warunek ma być „ograniczony i borelowalny”, jak w ograniczonym i $\mathscr B(\mathbb R)$-mierzalne dla $(\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R), Lebesgue)$
2 - dla elementarnej teorii prawdopodobieństwa
Pozwolić $X_i: \Omega \to \mathbb R$być niezależnymi zmiennymi losowymi, które mają pliki PDF. Użyj podstawowej definicji prawdopodobieństwa niezależności, która jest „niezależna od tego, czy wspólny plik PDF się rozpadnie” lub coś w tym rodzaju. Chyba zestaw indeksów$I$nie muszą być skończone, w takim przypadku myślę, że definicja jest taka, że łączny plik PDF dowolnego skończonego podzbioru jest niezależny . Daj warunki dotyczące$f_i$ takie że $f_i(X_i)$jest niezależna. Oczywiście nie możemy dokładnie powiedzieć , że$f_i$ jest „mierzalne”.
Kontekst dla przypadku elementarnego: Próbuję uzasadnić obliczenia dla wzoru na funkcję generującą moment dla liniowej kombinacji niezależnych zmiennych losowych . Zobacz tutaj: Udowodnienie nierówności prawdopodobieństwa wyprowadzenia górnej granicy dla funkcji generujących momenty
Opierając się na zastosowaniu całki Riemanna-Stieltjesa (lub całki Lebesgue'a-Stieltjesa) do prawdopodobieństwa , myślę, że warunek jest dowolny$f_i$ takie że $E[f_i(X_i)]$ istnieje (tj $E[|f_i(X_i)|]$ jest skończona).
To jest ten sam warunek u Larsena i Marksa - Wprowadzenie do statystyki matematycznej i jej zastosowań .
Myślę $f$ ograniczony oznacza to, ale nie odwrotnie.
Aktualizacja : również związana z innym pytaniem, jeśli$g$ jest ciągłą i rosnącą funkcją $x$, Udowodnij to $g(X)$jest zmienną losową. -> Bardziej ogólnie dla jakich funkcji$g$ jest $g(X)$jest zmienną losową? Oczywiście z zaawansowanym prawdopodobieństwem po prostu powiedz$g$ jest mierzalny w Borelu lub $\mathscr F$-mierzalne czy cokolwiek, ale myślę, że mówimy w elementarnym prawdopodobieństwie $g$ takie że $E[g(X)]$ istnieje tj $E[|g(X)|] < \infty$, NAWET MYŚLĘ, że jest to silniejszy warunek niż tamto $g$jest „mierzalne”, cokolwiek to oznacza w elementarnym prawdopodobieństwie. Ale z drugiej strony jest to trochę dziwne, ponieważ niekoniecznie się tego spodziewamy$E[X]$ istnieć (tj $E[|X|] < \infty$) lub w każdym wyższym momencie $E[X^n]$ Zgaduję.
Odpowiedzi
Dla $i\in I$ pozwolić $\sigma\left(X_{i}\right)\subseteq\mathscr{F}$ oznaczają $\sigma$-algebra generowana przez zmienną losową $X_{i}:\Omega\to\mathbb{R}$.
Więc faktycznie mamy $\sigma\left(X_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\left\{ X_{i}^{-1}\left(B\right)\mid B\in\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $.
Kolekcja $(X_i)_{i\in I}$ zmiennych losowych jest niezależna iff:
Dla każdego skończonego $J\subseteq I$ i każdej kolekcji $\left\{ A_{i}\mid i\in J\right\} $ dogadzający $\forall i\in J\left[A_{i}\in\sigma\left(X_{i}\right)\right]$ mamy:
$$P\left(\bigcap_{i\in J}A_{i}\right)=\prod_{i\in J}P\left(A_{i}\right)\tag {1}$$
Teraz jeśli $f_{i}:\mathbb{R}\to Y_{i}$ dla $i\in I$ gdzie $\left(Y_{i},\mathcal{A}_{i}\right)$ oznacza mierzalną przestrzeń i gdzie każdy $f_{i}$ jest mierzalny w sensie borela $f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\subseteq\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)$ następnie w celu sprawdzenia niezależności musimy spojrzeć na $\sigma$-algebry $\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
Ale ewidentnie: $$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)=\left(f_{i}\circ X_{i}\right)^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\right)\subseteq X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\sigma\left(X_{i}\right)$$ Więc jeśli $\left(1.A\right)$ jest zadowolony z $\sigma\left(X_{i}\right)$wtedy automatycznie zadowala mniejszych$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
2)
Niezależność koncepcji zmiennych losowych ma wpływ na pliki PDF i obliczanie momentów, ale jej definicja jest od tego całkowicie niezależna . Na podstawie np. Podziału plików PDF można wywnioskować, że istnieje niezależność, ale tego typu rzeczy nie mogą być traktowane jako „definicja niezależności”. W takich sytuacjach możemy co najwyżej powiedzieć, że jest to wystarczający (niekonieczny) warunek niezależności. Jeśli zastanawiamy się: „co jest potrzebne do$f_i(X_i)$ być niezależnymi? ”, to musimy skupić się na definicji niezależności (niewystarczające warunki). Czyniąc to, stwierdzamy, że mierzalność $f_i$ wystarczy, gdy $X_i$ są już niezależni.
Edycja BCLC: (niech drhab edytuje tę część dalej): Nie ma `` mierzalnego '' w prawdopodobieństwie elementarnym, więc mówimy po prostu `` odpowiedni '' lub `` grzeczny '', ponieważ niezależnie od funkcji, które napotkają studenci o podstawowym są odpowiednie. Prawdopodobnie w niektórych podręcznikach będą stosowane słabsze warunki niż „mierzalne”, które będą używane jako definicja niezależności dla tej książki.
Edycja : funkcje, których nie można zmierzyć (lub jeśli chcesz, są nieodpowiednie) są w zwykłym kontekście bardzo rzadkie. Aby dowieść istnienia takich funkcji, potrzebny jest aksjomat wyboru. W tym sensie można powiedzieć, że funkcje konstruowalne (nie jest potrzebna żadna funkcja wyboru) są odpowiednie.
teoria miary :
Teoretyczna odpowiedź jest bardzo ogólna. Nie wymaga to niczego specjalnego w prawdziwych liniach lub zestawach Borela, wystarczy czysta mierzalność. Przypuszczać$(X)_{i \in I}$ jest rodziną (policzalność nie jest potrzebna) elementów losowych, gdzie $X_i: (\Omega, \mathscr{F}) \to (A_i, \mathscr{A}_i)$, czyli każdy $X_i$ przyjmuje wartości w jakiejś przestrzeni $A_i$ i $X_i$ jest wymierne, ale wszystkie $X_i$ żyć w tej samej przestrzeni wejściowej $\Omega$. Nie ma żadnych założeń dotyczących przestrzeni$\Omega, A_i$ lub $\sigma$-algebry $\mathscr{F}, \mathscr{A}_i$.
Niech odpowiednia rodzina funkcji $(f_i)_{i \in I}$ mieć takie, że dla każdego $i$, $f_i: (A_i, \mathscr{A}_i) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$jest wymierne. To znaczy każdy$f_i$ akceptuje dane wejściowe od $A_i$ (kodomena $X_i$) i przyjmuje wartości w pewnym miejscu $B_i$ takie że $f_i$jest wymierne. (To gwarantuje, że dla każdego$i$, $f_i(X_i): (\Omega, \mathscr{F}) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$ ma sens i jest mierzalna.) Ponownie, nie ma żadnych założeń dotyczących przestrzeni $B_i$ lub $\sigma$-algebry $\mathscr{B}_i$.
Teraz przypuśćmy $(X_i)_i$ jest niezależną rodziną według pewnej miary prawdopodobieństwa $P$ na $(\Omega, \mathscr{F})$czyli dla dowolnego skończonego podzbioru $J \subseteq I$ indeksów i wszelkich mierzalnych podzbiorów $U_i \in \mathscr{A}_i$ jeden ma $$P(X_i \in U_i \text{ for all } i \in J) = \prod_{i \in J} P(X_i \in U_i).$$
Następnie twierdzimy, że $(f_i(X_i))_{i \in I}$ jest również niezależną rodziną pod $P$. Rzeczywiście, niech$J \subseteq I$ być jakimś skończonym podzbiorem indeksów i niech mierzalne podzbiory $V_i \in \mathscr{B}_i$zostało dane. Dla każdego$i \in J$, przez mierzalność $f_i$ i $V_i$, jeden to ma $f_i^{-1}(V_i) \in \mathscr{A}_i$ a zatem $$ P(f_i(X_i) \in V_i \text{ for all } i \in J) = P(X_i \in f^{-1}_i(V_i) \text{ for all } i \in J) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(X_i \in f^{-1}_i(V_i)) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(f_i(X_i) \in V_i). $$ A zatem, $f_i(X_i))_{i \in I}$ jest niezależną rodziną.
prawdopodobieństwo elementarne :
Jeśli chodzi o elementarne rozwiązanie prawdopodobieństwa, to tak naprawdę zależy od tego, jaka jest twoja definicja niezależności. We wszystkich przypadkach definicja obejmuje tylko skończone podzbiory zmiennych losowych. Powiedziałbym, że bez definicji$\sigma$-algebra, dowód jest poza zasięgiem, chyba że przyjmiesz dodatkowe (niepotrzebne) założenia. Jeśli Twoja definicja jest taka, że gęstości rozdzielają się jako produkt, musisz założyć pewne warunki, aby to zapewnić$f_i(X_i)$ma gęstość i możesz zastosować zwykłe reguły transformacji gęstości. Jeśli twoje funkcje przyjmują wartości w policzalnej przestrzeni, powyższy dowód można powtórzyć zasadniczo dosłownie, zastępując dowolne$U_i, V_i$ z singletonami, czyli patrz $P(f_i(X_i) = y_i, \forall i)$.
Alternatywnie, skoro unikasz odpowiedzi opartej na teorii miary na pytanie, którego sama definicja jest teorią miary, być może poprawność argumentu nie jest wymagana? Po prostu powiedz swoim uczniom, że warunek niezależności musi obowiązywać dla „wszystkich zestawów (asteristk słowny)”, a następnie przedstaw powyższy dowód bez wspominania o mierzalności. Lub, jeśli twoi uczniowie być może lepiej znają topologię, możesz użyć tylko funkcji ciągłych i przyjrzeć się obrazom wstępnym otwartych zbiorów.