Udowodnij, że jeśli $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , i $~\sum c_n=C$ [duplikować]

Question

Pozwolić $\{a_n\}$, $\{b_n\}$być sekwencjami. Definiować$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$.

Udowodnij, że jeśli $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , i $~\sum c_n=C~$ (więc wszystkie są zbieżnymi szeregami) $C=AB$. (Pamiętaj, że nie potrzebujemy$\sum a_n$ być absolutnie zbieżne).

Cześć wszystkim. Utknąłem na tym, jak rozpocząć ten problem. Nie chcę odpowiedzi, tylko podpowiedź, jak zacząć.

Answer 1

Przepraszam, że wcześniej źle zrozumiałem pytanie. To, czego szukasz, to prawdopodobnie to , które mówi:

Pozwolić $\sum a_{n}~$ , $\sum b_{n}$ są warunkowo zbieżnymi szeregami złożonymi, $\sum c_{n}$ jest iloczynem Cauchy'ego $\sum a_n$, $\sum b_n$ takie że $\sum c_n$zbiega się. Następnie,$$\sum c_{n} = \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right)$$

Aby uzyskać pełny dowód, skorzystaj z tego samego linku, co powyżej.

---

EDYCJA: Zaktualizowano linki. Przepraszamy za niedogodności.