Używanie różniczek (nie częściowych pochodnych), aby udowodnić, że d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [duplikat]
Próbuję udowodnić części każdej składowej odwrotnej macierzy na załączonym obrazku. Próbowałem użyć różnic, a następnie rozwiązać inne składniki. (Chciałbym to rozwiązać w ten sposób). Próbując na przykład rozwiązać,$\frac{d\theta}{dx}$ (w lewym dolnym rogu macierzy odwrotnej [załączona poniżej]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Następnie obserwując, że trzymamy $r = constant$, więc $dr = 0$. rozumiem$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, który jest blisko. Włożyłem to do częściowego kalkulatora i zrobiłem$\theta$ funkcja x i r, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Biorąc$\frac{\partial \theta}{\partial x}$Otrzymuję właściwą odpowiedź, ponieważ r jest funkcją od x i y. Jeśli używam$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ i skorzystaj z części, którą otrzymałem powyżej ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). Próbowałem też wymienić dr in$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ używając $r^2=x^2+y^2$ zastępując dr $rdr = xdx + ydy$gdzie założyłem, że dy będzie stały. Co dało mi złą odpowiedź. Chciałbym poprawić swoje logiczne myślenie, więc każda rada na temat tego, co zrobiłem, również byłaby świetna. Dziękuję Ci!
Podsumowanie: Próbuję to udowodnić za pomocą różnic (nie częściowych) $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
Odpowiedzi
Problem w tym, że nie można po prostu pisać $\frac{d\theta}{dx}$. W termodynamice istnieje zapis, który jest naprawdę przydatny i ważny. Piszą pochodne częściowe z indeksem dolnym, aby wskazać, które zmienne są pozostawione stałe. Na przykład, jeśli mamy$z=f(x,y)$ i chcemy znaleźć pochodną $f$ z szacunkiem do $x$, mocowanie $y$, piszemy $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Jest to ważne, ponieważ możemy mieć wiele zmiennych latających wokół i ważne jest, aby wiedzieć, które zmienne są stałe.
W twoim przykładzie możemy pomyśleć $(x,y)$ jako funkcje $(r,\theta)$. Więc jeśli napiszemy$\partial x/\partial\theta$, to zwykle oznacza $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Kiedy naprawisz$r$, wtedy staje się prawdą (ponieważ zasadniczo wykonujemy rachunek jednowymiarowy) $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Jednak mylisz rzeczy, próbując zamiast tego dokonać obliczeń $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, a to są dwie zupełnie różne bestie. Naprawdę trzeba uważać na śledzenie zmiennych niezależnych. Jeśli je zmienisz, pojawi się więcej reguł łańcucha.
Powtarzam, próbujesz porównać \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
Przy okazji, uważajcie. Generalnie nie mamy$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. Rzeczywiście, od$x=r\cos\theta$, mamy $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (który jest $-y$). Z drugiej strony, ponieważ$\theta =\arctan(y/x)$ (przynajmniej dla $-\pi/2<\theta<\pi/2$), mamy $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, co bardzo różni się od $-y$. To jest twoje$-\sin\theta/r$, oczywiście. Prawidłowa relacja pochodzi z pełnych macierzy pochodnych (zwanych jakobianami), które są odwrotne$2\times 2$ matryce.
Możesz to wszystko zrobić poprawnie z różnicami (w rzeczywistości formami różniczkowymi), ale nadal musisz śledzić, kim są zmienne niezależne. I naprawdę musisz przestać pisać takie rzeczy jak$d\theta/dx$ chyba że $\theta$tak naprawdę jest funkcją tylko jednej zmiennej$x$. Aby otrzymać swoją pierwszą formułę, musiałbyś napisać$d\theta$ w kategoriach sprawiedliwych $dx$ i $dr$; aby dostać sekundę, musiałbyś napisać$d\theta$ w kategoriach zwykłych $dx$ i $dy$. To tylko kwestia co zmienna niezależna y są.