Warunkowe oczekiwanie z wielokrotnym warunkowaniem
Dla każdego rvs $X$ i $Y$:
$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$
Ale nie mogę tego udowodnić. Próbowałem użyć prawa Adama z dodatkowym uwarunkowaniem ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$), ale wydaje mi się, że nic mi to nie daje.
Oto co próbowałem:
$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ Od czasu wydarzenia $X$ stało się i $g(X)$ Stało się to równoważne, uwarunkowane na obu $X$ i $g(X)$to to samo, co uwarunkowanie tylko jednego z nich. Czy istnieje jakaś intuicyjna interpretacja tego?
Czy to również oznacza, że warunkowanie jest włączone $X$ lub dowolnej funkcji $g$ z $X$ jest takie samo ?
Odpowiedzi
Jest to szczególny przypadek Własności Wieży warunkowych oczekiwań, który stwierdza, że jeśli $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ następnie $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ Użyj drugiej z tych równości, z $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ i $\mathcal F_2=\sigma(X)$.
Argument, który już masz, jest całkiem niezłym argumentem teorii niemiarowej. Sformalizuję to poniżej, aby dać pewność co do niektórych szczegółów.
Używając struktury argumentów: Niech $g(X)=E[Y|X]$. Następnie\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}gdzie (a) korzysta z prawa iteracyjnych oczekiwań; b) zastosowania$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; c) zastosowania$E[Z|Z]=Z$ dla dowolnej zmiennej losowej $Z$. $\Box$
Krok (b) dokładniej zbadany to: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ a to intuicyjnie oznacza, że jeśli już wiemy $X$, a następnie dodatkowe informacje $g(X)$ nie dodaje nic nowego.
Uwagi:
Uwarunkowanie włączone $X$ generalnie nie jest tym samym, co warunkowanie $g(X)$, ale to działa w tym konkretnym problemie.
Wyprowadzenie teorii miary mogłoby być zgodne z moim pierwszym komentarzem do twojej odpowiedzi. Możesz także uzasadnić$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ bardziej formalnie przez teorię miary („sigma algebra generowana przez $(g(X),X)$ jest tym samym, co algebra sigma generowana przez $X$”).
Definicja teorii miary formalnej mówi o „wersjach” warunkowego oczekiwania i nie wchodzę w takie szczegóły w tej odpowiedzi (niektórzy ludzie mogą chcieć zastąpić moje równości równościami, które utrzymują „z prawdopodobieństwem 1”).