Warunkowe oczekiwanie z wielokrotnym warunkowaniem

Aug 17 2020

Dla każdego rvs $X$ i $Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

Ale nie mogę tego udowodnić. Próbowałem użyć prawa Adama z dodatkowym uwarunkowaniem ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$), ale wydaje mi się, że nic mi to nie daje.

Oto co próbowałem:

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ Od czasu wydarzenia $X$ stało się i $g(X)$ Stało się to równoważne, uwarunkowane na obu $X$ i $g(X)$to to samo, co uwarunkowanie tylko jednego z nich. Czy istnieje jakaś intuicyjna interpretacja tego?

Czy to również oznacza, że ​​warunkowanie jest włączone $X$ lub dowolnej funkcji $g$ z $X$ jest takie samo ?

Odpowiedzi

1 JohnDawkins Aug 16 2020 at 23:58

Jest to szczególny przypadek Własności Wieży warunkowych oczekiwań, który stwierdza, że ​​jeśli $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ następnie $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ Użyj drugiej z tych równości, z $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ i $\mathcal F_2=\sigma(X)$.

1 Michael Aug 16 2020 at 23:03

Argument, który już masz, jest całkiem niezłym argumentem teorii niemiarowej. Sformalizuję to poniżej, aby dać pewność co do niektórych szczegółów.

Używając struktury argumentów: Niech $g(X)=E[Y|X]$. Następnie\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}gdzie (a) korzysta z prawa iteracyjnych oczekiwań; b) zastosowania$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; c) zastosowania$E[Z|Z]=Z$ dla dowolnej zmiennej losowej $Z$. $\Box$


Krok (b) dokładniej zbadany to: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ a to intuicyjnie oznacza, że ​​jeśli już wiemy $X$, a następnie dodatkowe informacje $g(X)$ nie dodaje nic nowego.


Uwagi:

  • Uwarunkowanie włączone $X$ generalnie nie jest tym samym, co warunkowanie $g(X)$, ale to działa w tym konkretnym problemie.

  • Wyprowadzenie teorii miary mogłoby być zgodne z moim pierwszym komentarzem do twojej odpowiedzi. Możesz także uzasadnić$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ bardziej formalnie przez teorię miary („sigma algebra generowana przez $(g(X),X)$ jest tym samym, co algebra sigma generowana przez $X$”).

  • Definicja teorii miary formalnej mówi o „wersjach” warunkowego oczekiwania i nie wchodzę w takie szczegóły w tej odpowiedzi (niektórzy ludzie mogą chcieć zastąpić moje równości równościami, które utrzymują „z prawdopodobieństwem 1”).