Wskazówka dotycząca problemu z USAMO.

Question

Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n istnieje liczba n-cyfrowa podzielna przez 5$^n$wszystkie cyfry są nieparzyste.
USAMO 2003.

Po raz pierwszy widziałem taki problem, więc nie jestem pewien, co robić, indukcja, konstrukcja, sprawdzanie małych skrzynek, sprzeczność to tylko niektóre z rzeczy, których próbowałem.

Wiem, że mogę łatwo znaleźć rozwiązanie w dowolnym miejscu, ale nie chcę patrzeć na rozwiązanie, więc proszę o WSKAZÓWKI .

OPUBLIKOWAŁEM ROZWIĄZANIE https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution TUTAJ PROSZĘ SPRAWDZIĆ TO.

Prosimy nie podawać pełnego rozwiązania, wszelkie wskazówki będą mile widziane.

Answer 1

Podpowiedź: po komentarzu lulu załóżmy, że utworzyłeś liczbę $N$ z $n-1$ nieparzyste cyfry podzielne przez $5^{n-1}$. Zapiszmy ten numer jako$N = p\cdot5^{n-1}$. Następnie chcesz znaleźć nieparzystą cyfrę$a$ takie że $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ dla jakiejś liczby całkowitej $k > 0$. To prawda iff$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. Pisanie$a = 2m+1$, czy możesz udowodnić, że zawsze możemy znaleźć $m$? Również$m$ jest mod $5$, i stąd $a$ to cyfra.

Podstawowy przypadek jest oczywisty.