Zbieżność rozwinięć funkcji własnej Sturma-Liouville'a w punktach końcowych przedziału.
Pozwolić $\{\phi_n\}_{n=0}^\infty$ być funkcjami własnymi zwykłego problemu Sturma-Liouville'a \begin{align} -(p\,\phi')' + q\, \phi = \lambda \, r \, \phi \quad &\textrm{for } x \in (x_1,x_2)\\ - a_i \, \phi(x_i) + b_i\, (p\,\phi')(x_i) = 0 \quad &\textrm{for } i=1,2. \end{align} Zakładać, że $p$ i $r$są dodatnie i dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły; zakładać, że$q$jest ciągły; współczynniki$a_i,b_i$ dla $i=1,2$ są prawdziwe.
Pozwolić $F(x)$ być funkcją podwójnie różniczkowalną w przedziale $[x_1,x_2]$. W powyższych warunkach wiem, że \ begin {equation} \ textrm {(I)} \ quad \ quad F (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ int_ {x_1} ^ {x_2 } F (z) \, \ phi_n (z) \, r (z) \, \ textrm {dz} \ right) \, \ phi_n (x) \ end {equation} z punktową równością w otwartym przedziale $(x_1,x_2)$.
Moje pytanie brzmi: jaką wartość ma punkt końcowy $(x=x_i)$seria \ begin {equation} \ textrm {(II)} \ quad \ quad \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ int_ {x_1} ^ {x_2} F (z) \, \ phi_n (z) \, r (z) \, \ textrm {dz} \ right) \, \ phi_n (x_i) \ end {equation} zbiegają się do? Czy istnieje ogólne wyrażenie w formie zamkniętej?
Gdyby $F(x)$ spełnia te same warunki brzegowe, co funkcje własne $\phi_n$, to wiem, że szereg (I) jest zbieżny $F(x)$ równomiernie w zamkniętym przedziale $[x_1,x_2]$ (i tak otrzymuję punktową równość w zamkniętym przedziale).
Z drugiej strony, jeśli funkcje własne $\phi_n$ spełniają prostsze warunki brzegowe $\phi_n(x_i)=0$wtedy szereg punktów końcowych (II) musi zbiegać się do zera. Seria (I) musi wtedy mieć nieciągłość skoku skończonego w punktach końcowych, np. Przeskakiwanie$\lim_{x\rightarrow x_2}F(x)$ do $0$ w $x=x_2$. Interesują mnie jednak bardziej ogólne warunki brzegowe powyżej.
Znam wyrażenia w postaci zamkniętej dla szeregów punktów końcowych w przypadku rozwinięć Fouriera; Zastanawiam się, czy istnieje analogiczne wyrażenie dla zwykłych rozszerzeń Sturm-Liouville.
Wszelkie referencje byłyby bardzo mile widziane.
Edycja: tutaj powiązałem powiązane pytanie. Czy jest analogiczny wynik dla serii Sturm-Liouville? Czy uzyskujemy punktową zbieżność do$F(x)$ w zamkniętym przedziale $[x_1,x_2]$ kiedy tylko $b_1,b_2 \neq 0$?
Edit # 2: Artykuł Sturm-Liouville w Encyclopedia of Mathematics stwierdza, że z$b_1,b_2 \neq 0$, rozszerzenie (I) zbiega się w tych samych warunkach, co szereg cosinusów dla dowolnego $F\in L^1$. Przypuszczalnie z poprzedniej edycji oznaczałoby to, że uzyskujemy punktową zbieżność do$F$ w całym przedziale, jeśli $F$ jest różniczkowalna i $b_1,b_2 \neq 0$. Niestety nie mam dostępu do artykułów cytowanych w encyklopedii.
Odpowiedzi
W rozdziale 9 Wstępu do teorii widmowej: samosprzężone zwykłe operatory różniczkowe autorstwa Levitana i Sargsjana autorzy pokazują, że w przypadku problemu Sturma-Liouville'a\begin{align} -y'' + q\,y = \lambda \,y\\ y'(0) - h\, y(0) = 0 \\ y'(\pi) + H\, y(\pi) = 0 \end{align} na $[0,\pi]$, gdyby $h,H \neq \infty$, to rozwinięcie funkcji własnej Sturma-Liouville'a zbiega się lub rozbiega w dowolnym punkcie zamkniętego przedziału$[0,\pi]$ zgodnie z zachowaniem odpowiedniego rozszerzenia szeregu cosinusowego.
Jeśli jeden z $h$ lub $H$ jest nieskończonością, należy zamiast tego porównać z $sin([n+1/2]x)$ekspansja. W przeciwnym razie, jeśli oba$h=\infty, H=\infty$, to trzeba porównać z rozwinięciem szeregu sinus.