Znajdowanie standardowej postaci równania paraboli [zamknięte]

Nov 22 2020

Mam mały problem ze zrozumieniem, jak znaleźć standardową postać równania paraboli z podanych wartości. Próbowałem googlować i oglądać wideo na youtube, ale nie rozumiem, jak właściwie się do tego zabrać.

Dany:

Directrix jest $ x = -2$; skupiamy się$(2,0)$
Oś wzdłuż $x$oś; wierzchołek na początku; przejazdem$(2,5)$
Wierzchołek w $(-2,-2)$; skup się na$(-2,2)$

Nie wiem, jak to sformułować, niektóre wskazówki byłyby mile widziane.

Edytować. Czytałem to, ale nie rozumiem.

Odpowiedzi

4 zaira Nov 22 2020 at 23:30

Zwróć uwagę, że ważne jest, aby znać definicję paraboli, co oznacza krzywa oprócz geometrii. Parabola to krzywa (równanie), w której dowolny punkt jest jednakowo oddalony od stałego punktu (ognisko) i stałej linii (kierownica). Najpierw spójrz na obrazek poniżej, aby zapoznać się z warunkami.

Twoje pytanie wydaje się opisywać 3 różne parabole.

Parabola 1. Directrix$\equiv x=-2$ , skupiać $\equiv (2,0)$

Podążamy za definicją. Pozwolić$(h,k)$być arbitralnym punktem na paraboli. Następnie musi być w równej odległości od kierownicy,$x+2=0$ i skup się, $(2,0)$ tj. spełnia \begin{align}|h+2|=\sqrt{(h-2)^2+k^2}&\Rightarrow (h+2)^2=(h-2)^2+k^2\\ &\Rightarrow k^2=(h+2)^2-(h-2)^2=8h\\ &\Rightarrow k^2=8h.\end{align} Od, $(h,k)$ był arbitralnym punktem na krzywej, możemy powiedzieć, że równanie paraboli jest niczym innym $$y^2=8x.$$

Parabola 2. Oś$\equiv y=0$ ($x$ oś), wierzchołek $\equiv (0,0)$ , $(2,5)$ to punkt leżący na krzywej

„Oś symetrii” lub po prostu osią paraboli jest linia prostopadła do kierownicy i przechodząca przez ognisko paraboli. Wierzchołek został zdefiniowany jako punkt, w którym oś styka się z samą krzywą.

Dowolna parabola z $y=0$ jako jego oś symetrii i wierzchołek $(0,0)$ ma postać $$y^2=4px\mathrm{~where~}(p,0)\mathrm{~is~the~focus}.$$

(Dlaczego to?)

Fokus musi być punktem leżącym na $x$ oś, a co za tym idzie, formy $(p,0)$. Ponieważ wierzchołek jest punktem na paraboli, musi znajdować się w równej odległości od kierownicy i ogniska. Oś jest prostopadła do kierownicy, przechodząc przez ognisko i wierzchołek. Załóżmy, że oś spotyka się z kierownicą w punkcie$D$ i pozwól $F$być w centrum uwagi. Następnie wierzchołek$(0,0)$ jest środkiem odcinka linii, $FD$ i $D$leży na osi. Otrzymujemy,$$D\equiv (-p,0).$$ Używamy tego, aby otrzymać równanie paraboli, tak jak zrobiliśmy to w części 1: \begin{align}|x+p|=\sqrt{(x-p)^2+y^2}&\Rightarrow (x+p)^2=(x-p)^2+y^2\\ &\Rightarrow y^2=(x+p)^2-(x-p)^2=4px\\ &\Rightarrow y^2=4px.\end{align}

Wiemy to $(2,5)$również leży na paraboli. Dlatego spełnia równanie$y^2=4px$ to znaczy, $$5^2=4p\cdot2\Rightarrow p=25/8.$$ Równanie paraboli staje się $$y^2=\frac{25}{2}x\Leftrightarrow 2y^2=25x.$$

Parabola 3. Wierzchołek$\equiv (-2,-2)$, skupiać $\equiv (-2,2)$

Ognisko i wierzchołek paraboli leżą na osi, a wierzchołek jest środkiem odcinka łączącego ognisko i punktem, w którym oś styka się z kierownicą (nazwijmy ten punkt $D$). Kierownica będzie linią prostopadłą do osi i przechodzącą przez nią$D$.

Najpierw znajdujemy $D\equiv(h,k)$. Następnie,$$\frac{h-2}{2}=-2\Rightarrow h=-2\mathrm{~and~}\frac{k+2}{2}=-2\Rightarrow k=-6.$$ $\therefore D\equiv(-2,-6).$

Następnie obserwujemy, że linia $x=-2$ przechodzi przez $(-2,-2)$ i $(-2,2)$. Ponieważ dowolne dwa punkty$\mathbb{R}^2$ mają dokładnie jedną prostą przechodzącą przez oba z nich, możemy wywnioskować, że równanie osi to $$x+2=0.$$

Dowolna linia prostopadła do jakiejś prostej, $ax+by+c=0$ ma postać $bx-ay+k=0.$

Kierownica ma postać $$y-k=0$$ i przechodzi przez punkt $D\equiv(-2,-6).$ W związku z tym, $k=-6$ a kierownica jest $y+6=0$. Korzystając z nich, otrzymujemy, że równanie paraboli to\begin{align}|y+6|=\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}&\Rightarrow (y+6)^2=(x+2)^2+(y-2)^2\\ &\Rightarrow (x+2)^2=(y+6)^2-(y-2)^2=8(2y+4)\\ &\Rightarrow (x+2)^2=16(y+2).\end{align}