Znajdowanie wartości własnych macierzy 3x3 z podanym wyznacznikiem i śladem

Question

Załóżmy, że plik $3×3$macierz A ma tylko dwie różne wartości własne. Przypuszczam, że$\operatorname{tr}(A)=−1$ i $\det(A)=45$. Znajdź wartości własne$A$.

Rozwiązałem podobny problem z macierzą 2x2, korzystając z właściwości śladu i wyznacznika (trace = a + d i det = ad-bc). Próbowałem zastosować to samo podejście do macierzy 3x3, ale bez powodzenia, ponieważ wyrażenie charakterystycznego wielomianu jest znacznie bardziej złożone. Czy jest jakieś inne podejście, które mógłbym zastosować?

Answer 1

Załóżmy, że twoje wartości własne są $x$ i $y$. Twoja macierz$A$ jest podobny do macierzy diagonalnej $B$który ma swoje wartości własne na przekątnej.
Teraz podobne macierze mają ten sam wyznacznik i ten sam ślad, dzięki czemu możemy przejść do następujących równań:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$Pierwsza z nich to suma przekątnej (wiemy, że istnieją 2 unikalne wartości własne, więc jedna z nich pojawi się 2 razy na przekątnej).
Drugi to iloczyn przekątnej (wyznacznik macierzy diagonalnej).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$

Jeśli $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ i $2x+y=-1$. I to nasza odpowiedź :)

Answer 2

Istnieje macierz $A$ że $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Ponieważ masz jedną wartość własną dwa razy (zakładam $\lambda_1$) to skutkuje: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$

// Edycja: poprawiony wynik: Możesz rozwiązać ten problem i dostać się do:

$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$