Zrozumienie dowodu na „niepuste przecięcie zbiorów zamkniętych z FIP” implikuje zwartość
Próbowałem zrozumieć dowód następującego twierdzenia:
„Przestrzeń X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór zamkniętych podzbiorów X spełniający właściwość skończonego przecięcia ma niepuste przecięcie”.
Standardowe dowody tego twierdzenia, które widzę, są takie same, jak te objęte poniższym pytaniem:
Skończona właściwość przecięcia implikuje zwartość?
Jak w powyższym pytaniu, mogłem zrozumieć dowód na zwartość implikujący niepuste przecięcie zbioru zbiorów zamkniętych o skończonej własności przecięcia, jednak nie jestem pewien co do dowodu dla drugiego kierunku.
Przechodząc do drugiego dowodu przedstawionego w pierwszej odpowiedzi powyżej, który wygląda następująco:
Załóżmy, że K ma skończoną własność przecięcia. Aby udowodnić, że K jest zwarte, niech {Ui} i∈I będzie zbiorem zbiorów otwartych, które obejmują K. Twierdzimy, że ta kolekcja zawiera skończoną podkolekcję zbiorów, które obejmują również K.
Przypuszczam, że $K \neq\bigcup_{j \in J} U_j$ gdzie $J\subset I$jest skończona. Przyjmowanie komplementów$K^c \neq \bigcap U_j^c$, który według hipotezy jest niepusty - ponieważ $U_i$ jest otwarte, $U_i^c$zamknięte. Od$K$ ma fip, więc to mamy
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$. To zaprzecza$U_i$ będąc otwartą przykrywką dla $K$.
Tutaj nie widzę znaczenia części tego dowodu ze zbiorem skończonym $ J $ który jest zawarty w $ I $. Czy nie moglibyśmy bezpośrednio zacząć od następnej części?
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$
Co najważniejsze, uzyskaliśmy sprzeczność z {Ui} i∈I jako otwartą okładką omawianego zestawu. Nie rozumiem, jak to prowadzi do zwartości? W jaki sposób upoważnia do istnienia otwartej podokładki dla wszystkich takich otwartych okładek tego zestawu?
Widziałem podobny dowód na następującym blogu:
https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/
ale i tutaj nie mogłem zrozumieć, w jaki sposób sprzeczność prowadzi do istnienia podkrywki.
Odpowiedzi
Mówi się, że rodzina zbiorów o skończonej własności przecięcia jest wyśrodkowana ; dla wygody użyję tego terminu.
Dowód Dana Ma nie jest sprzeczny. Chce to udowodnić, jeśli przyjdzie każda skoncentrowana rodzina zamkniętych$X$ ma więc niepuste przecięcie $X$jest kompaktowy. Aby to zrobić, udowadnia kontrapozytyw : jeśli$X$ nie jest więc zwarta $X$ma wyśrodkowaną rodzinę zbiorów zamkniętych, których przecięcie jest puste. Jest to logicznie równoważne z pożądaną implikacją.
Sam argument jest prosty. Przypuszczam, że$X$nie jest zwarty; wtedy ma otwartą pokrywę$\mathscr{U}$bez skończonej podkrypy. Dla każdego$U\in\mathscr{U}$ pozwolić $F_U=X\setminus U$, i pozwól $\mathscr{F}=\{F_U:U\in\mathscr{U}\}$; Wyraźnie$\mathscr{F}$to rodzina zbiorów zamkniętych. Pozwolić$\mathscr{F}_0$ być jakimkolwiek skończonym podzbiorem $\mathscr{F}$. Jest coś skończonego$\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ takie że $\mathscr{F}_0=\{F_U:U\in\mathscr{U}_0\}$. Następnie
$$\bigcap\mathscr{F}_0=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}F_U=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\,.$$
$\mathscr{U}$ nie ma skończonej podkrypy, więc $\bigcup\mathscr{U}_0\ne X$, i dlatego
$$\bigcap\mathscr{F}_0=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\ne\varnothing\,.$$
A zatem, $\mathscr{F}$ jest wyśrodkowany: każdy skończony podzbiór $\mathscr{F}$ma niepuste przecięcie. Ale
$$\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{U\in\mathscr{U}}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}=\varnothing\,,$$
od $\mathscr{U}$ jest okładką $X$, więc $\mathscr{F}$ jest wyśrodkowaną rodziną zestawów zamkniętych w $X$ którego skrzyżowanie jest puste.
Dowód, że zostały skopiowane do Twojego pytania wykorzystuje zasadniczo ten sam pomysł, ale nie organizować je jako dowód nie wprost. Postaram się przedstawić to nieco jaśniej. Zaczynamy od dowolnej otwartej okładki$\mathscr{U}=\{U_i:i\in I\}$ zwartej przestrzeni $K$i przypuszczamy, aby uzyskać sprzeczność, że nie ma skończonej części składowej. Następnie dla każdego skończonego$J\subseteq I$ wiemy to $\bigcup_{j\in J}U_j\ne K$. Teraz dla każdego$i\in I$ pozwolić $F_i=K\setminus U_i$; następnie$\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ to rodzina zestawów zamkniętych w $K$i dla każdego skończonego $J\subseteq I$ mamy
$$\bigcap_{j\in J}F_j=\bigcap_{j\in J}(K\setminus U_j)=K\setminus\bigcup_{j\in J}U_j\ne\varnothing\,,$$
więc $\mathscr{F}$jest wyśrodkowany. Zakładamy, że każda wyśrodkowana rodzina zamkniętych zestawów w$K$ ma niepuste przecięcie, więc wyciągamy z tego wniosek $\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{i\in I}F_i\ne\varnothing$. Ale wtedy
$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I}(K\setminus F_i)=K\setminus\bigcap_{i\in I}F_i\ne K\,,$$
zaprzeczając temu $\mathscr{U}$ jest okładką $K$. Ta sprzeczność pokazuje, że w rzeczywistości musi istnieć skończoność$J\subseteq I$ takie że $\bigcup\{U_j:j\in J\}=K$, czyli takie, że $\{U_j:j\in J\}$ jest skończoną podkrytą.