Mon frère est en 10e année, j'ai pensé que j'en ferais un pour que les autres en profitent.

Factorisation quadratique

Les équations quadratiques sont un type important d'équation mathématique qui a de nombreuses applications en science, en ingénierie et dans d'autres domaines. Une équation quadratique est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes et x est une variable. Ces équations ont deux solutions, appelées racines ou zéros de l'équation.

Les équations quadratiques sont importantes car elles permettent de modéliser de nombreux phénomènes du monde réel, tels que le mouvement des objets, la croissance des populations et le comportement des circuits électriques. En résolvant des équations quadratiques, nous pouvons mieux comprendre ces phénomènes et prendre des décisions plus éclairées dans nos études et dans nos carrières.

Une méthode courante pour résoudre des équations quadratiques est connue sous le nom de factorisation quadratique. Cette méthode consiste à exprimer l'équation quadratique sous la forme (x — r_1)(x — r_2) = 0, où r_1 et r_2 sont les racines de l'équation. Nous pouvons alors résoudre pour x en fixant chaque facteur égal à 0 et en résolvant pour x.

Voici quelques exemples de résolution d'équations quadratiques à l'aide de la factorisation quadratique, ainsi que leurs solutions :

• Résolvez l'équation quadratique x² — 2x + 1 = 0.

• Résolvez l'équation quadratique 2x² — 5x + 2 = 0.

• Résolvez l'équation quadratique 4x² — 5x + 1 = 0.

• Résolvez l'équation quadratique 3x² + 2x + 1 = 0.

Plus d'exemples

Résolvez l'équation quadratique 2x² — 5x + 2 = 0.

• Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la technique de factorisation de la différence des carrés pour l'écrire comme (x - 1)(x - 2) = 0. Fixer chaque facteur égal à 0 et résoudre pour x nous donne les solutions x = 1 et x = 2.
• Résolvez l'équation quadratique 4x² — 5x + 1 = 0.

• Résolvez l'équation quadratique 3x² + 2x + 1 = 0.

Résolution d'équations quadratiques

Veuillez noter que sqrt signifie racine carrée,

La résolution d'équations quadratiques consiste à trouver les solutions d'équations de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes et x est une variable. Ces équations sont appelées équations quadratiques car la puissance la plus élevée de la variable x est 2.

Les équations quadratiques ont deux solutions, appelées racines ou zéros de l'équation. Ces solutions peuvent être trouvées en utilisant diverses méthodes, telles que la factorisation, la complétion du carré ou l'utilisation de la formule quadratique.

La résolution d'équations quadratiques est une compétence importante dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment l'algèbre, la géométrie et le calcul. Il nous permet de modéliser et d'analyser de nombreux phénomènes du monde réel, tels que le mouvement des objets, la croissance des populations et le comportement des circuits électriques. En maîtrisant les techniques de résolution des équations quadratiques, nous pouvons acquérir des connaissances précieuses et prendre des décisions plus éclairées dans nos études et dans nos carrières.

1- Résoudre l'équation quadratique 2x² — 5x + 2 = 0.

Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la formule quadratique, qui est

x = (-b +/- sqrt(b² - 4ac)) / 2a.

Dans ce cas, a = 2, b = -5 et c = 2, donc la formule devient

x = (-(-5) +/- sqrt((-5)² — 4(2)(2))) / 2(2)

= 5 +/- sqrt (25–16)

= 5 +/- sqrt(9)

= 5 +/- 3.

Par conséquent, les solutions de l'équation sont x = 5 + 3 = 8 et x = 5–3 = 2.

• Résolvez l'équation quadratique 4x² — 5x + 1 = 0. Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la formule quadratique, qui est

Dans ce cas, a = 4, b = -5 et c = 1, donc la formule devient

x = (-(-5) +/- sqrt((-5)² — 4(4)(1))) / 2(4)

= 5/4 +/- sqrt(25–16) / 4

= 5/4 +/- sqrt(9) / 4

= 5/4 +/- 3/4.

Par conséquent, les solutions de l'équation sont x = 5/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2 et x = 5/4–3/4 = 2/4 = 1/2.

2- Résoudre l'équation quadratique 3x² + 2x + 1 = 0. Pour résoudre cette équation, on peut utiliser la formule quadratique, qui est x = (-b +/- sqrt(b² — 4ac)) / 2a.

Dans ce cas, a = 3, b = 2 et c = 1, donc la formule devient

x = (-2 +/- sqrt(2² — 4(3)(1))) / 2(3)

= -1 +/- sqrt(4–12) / 6

= -1 +/- sqrt(-8) / 6

= -1 +/- i*2/6.

Par conséquent, les solutions de l'équation sont

x = -1 + i 2/6 = -1 + i/3 et x = -1 — i 2/6 = -1 — i/3.

Représentation graphique des quadratiques

Pour représenter graphiquement une équation quadratique, nous devons d'abord trouver des points qui satisfont l'équation. Cela peut être fait en insérant différentes valeurs de x dans l'équation et en résolvant pour y. Une fois que nous avons trouvé des points, nous pouvons les tracer sur un plan de coordonnées et les relier par une courbe lisse pour former le graphique de l'équation.

Par exemple, considérons l'équation quadratique y = x² — 2x + 1. Pour représenter graphiquement cette équation, nous pouvons insérer différentes valeurs de x dans l'équation et résoudre pour y. Par exemple, si x = -2, alors y = (-2)² — 2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9. Par conséquent, le point (-2, 9) est sur le graphique. Nous pouvons répéter ce processus pour quelques autres valeurs de x pour trouver plus de points. Par exemple:

• x = -1, y = (-1)² — 2(-1) + 1 = 1–2 + 1 = 0, donc le point (-1, 0) est sur le graphique.
• x = 0, y = (0)² — 2(0) + 1 = 0–0 + 1 = 1, donc le point (0, 1) est sur le graphique.
• x = 1, y = (1)² — 2(1) + 1 = 1–2 + 1 = 0, donc le point (1, 0) est sur le graphique.

Le graphique est une parabole qui s'ouvre vers le haut et a son sommet au point (0, 1).

La forme et la direction de la parabole dépendent des coefficients de l'équation quadratique. Par exemple, si le coefficient de x² est positif, la parabole s'ouvre vers le haut et a un point minimum. Si le coefficient de x² est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas et a un point maximum. Le coefficient de x détermine la direction du sommet et le terme constant détermine le déplacement vertical du graphique.