L'aire d'un cercle

C'est un fait bien connu que l'aire d'un cercle est πr². Il y a eu quelques méthodes pour prouver cette idée. Permettez-moi de vous présenter une autre façon de penser aux cercles.

L'image ci-dessus montre un polygone régulier à 30 côtés. Ne ressemble-t-il pas presque à un cercle ?

C'est la propriété que nous allons exploiter pour connaître l'aire d'un cercle. Mais avant d'en arriver là, il est important que nous établissions quelques idées en créant un coffre à outils.

Coffre à outils:

• Aire d'un triangle isocèle = (1/2)*(a²sinθ)
• lim (sin x)/x (x → 0) = 1
• 180° = π radians

où ,
n — nombre de côtés
a — longueur des deux côtés égaux du triangle
θ — angle entre les deux côtés égaux du triangle
A — aire du polygone régulier à n côtés

Un point important à noter est que 'θ' peut aussi s'écrire 360°/n. Réfléchissez à la raison pour laquelle c'est vrai. Aussi, pour un cercle, ' a' est appelé le rayon.

Passons à autre chose, que se passe-t-il si n tend vers ∞ ? Voyons:

L'expression ci-dessus peut être légèrement modifiée en multipliant et en divisant par (360/n). Il se réduit à la forme lim (sin x)/x (x → 0) = 1 de notre coffre à outils.

Enfin, après avoir annulé n au numérateur et au dénominateur, il nous reste :

Mais, 180° = π radians de notre coffre à outils. L'aire du cercle vaut donc :

Cette preuve crée une nouvelle question dans nos esprits — Pouvons-nous prouver que la circonférence d'un cercle est 2πr en utilisant la même méthode ?
Essayez de vous demander si c'est possible ou non et pourquoi.