Si vous ne vous souvenez que vaguement de votre cours de mathématiques à l'école primaire, vous ne vous souvenez peut-être pas de ce qu'est un nombre premier. C'est dommage, car si vous essayez de protéger vos e-mails des pirates ou de surfer sur le Web en toute confidentialité sur un réseau privé virtuel (VPN), vous utilisez des nombres premiers sans même vous en rendre compte.
C'est parce que les nombres premiers sont une partie cruciale du cryptage RSA , un outil commun de protection des informations, qui utilise des nombres premiers comme clés pour déverrouiller les messages cachés dans des quantités gigantesques de ce qui est déguisé en charabia numérique. De plus, les nombres premiers ont d'autres applications dans le monde technologique moderne, notamment un rôle important dans la définition de l'intensité des couleurs des pixels sur l'écran d'ordinateur que vous regardez actuellement.
Alors, que sont les nombres premiers, de toute façon ? Et comment sont-ils devenus si importants dans le monde moderne ?
Comme l' explique Wolfram MathWorld , un nombre premier - également connu simplement sous le nom de premier - est un nombre positif supérieur à 1 qui ne peut être divisé que par le un et lui-même.
"Le seul nombre premier pair est 2", explique Debi Mink , professeure agrégée d'éducation récemment retraitée à l'Université d'Indiana du Sud-Est, dont l'expertise comprend l'enseignement des mathématiques élémentaires. "Tous les autres nombres premiers sont des nombres impairs."
Des nombres comme 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17 sont tous considérés comme des nombres premiers. Des nombres comme 4, 6, 8, 9, 10 et 12 ne le sont pas.
Mark Zegarelli, auteur de nombreux livres sur les mathématiques dans la série populaire "Pour les nuls" qui enseigne également des cours de préparation aux tests, propose une illustration impliquant des pièces de monnaie qu'il utilise avec certains de ses étudiants pour expliquer la différence entre les nombres premiers et les nombres composés , qui peuvent être divisé par d'autres nombres que un et eux-mêmes. (Les nombres composés sont le contraire des nombres premiers.)
"Pensez au nombre 6", dit Zegarelli, citant un nombre composé. « Imaginez que vous avez six pièces. Vous pouvez les former en un rectangle, avec deux rangées de trois pièces. Vous pouvez également le faire avec huit, en mettant quatre pièces sur deux rangées. Avec le nombre 12, vous pouvez en faire plus d'un type de rectangle - vous pourriez avoir deux rangées de six pièces, ou trois fois quatre. "
"Mais si vous prenez le chiffre 5, peu importe comment vous essayez, vous ne pouvez pas le mettre dans un rectangle", note Zegarelli. "Le mieux que vous puissiez faire est de l'enchaîner en une ligne, une seule rangée de cinq pièces. Ainsi, vous pouvez appeler 5 un nombre non rectangulaire. Mais le moyen le plus simple de le dire est de l'appeler un nombre premier. "
Il y a beaucoup d'autres nombres premiers - 2, 3, 7 et 11 sont également sur la liste, et ça continue à partir de là. Le mathématicien grec Euclide, vers 300 avant notre ère, a conçu une preuve de l' infinité des nombres premiers, qui a peut-être été la première preuve mathématique montrant qu'il existe un nombre infini de nombres premiers. (Dans la Grèce antique, où le concept moderne de l'infini n'était pas tout à fait compris, Euclide décrivait simplement la quantité de nombres premiers comme "plus que n'importe quelle multitude de nombres premiers". )
Une autre façon de comprendre les nombres premiers et les nombres composés est de les considérer comme le produit de facteurs, dit Zegarelli. "2 fois 3 égale 6, donc 2 et 3 sont des facteurs de 6. Donc, il y a deux façons de faire six — 1 fois 6 et 2 fois 3. J'aime les considérer comme des paires de facteurs. Donc, avec un composite nombre, vous avez plusieurs paires de facteurs, alors qu'avec un nombre premier, vous n'avez qu'une seule paire de facteurs, une fois le nombre lui-même. "
Prouver que le nombre de nombres premiers est infini n'est pas si difficile, dit Zegarelli. "Imaginez qu'il existe un dernier et le plus grand nombre premier. Nous allons l'appeler P. Alors je vais prendre tous les nombres premiers jusqu'à P et les multiplier tous ensemble. Si je fais cela et en ajoute un au produit , ce nombre doit être un nombre premier."
Si un nombre est un composé, en revanche, il est toujours divisible par une certaine quantité de nombres premiers inférieurs. « Un composé peut également être divisible par d'autres composés, mais vous pouvez éventuellement le décomposer en un ensemble de nombres premiers. » (Un exemple : le nombre 48 a 6 et 8 comme facteurs, mais vous pouvez le décomposer davantage en 2 fois 3 fois 2 fois 2 fois 2.)
Pourquoi les nombres premiers sont importants
Alors pourquoi les nombres premiers ont-ils exercé une telle fascination parmi les mathématiciens pendant des milliers d'années ? Comme l'explique Zegarelli, beaucoup de mathématiques supérieures sont basées sur des nombres premiers. Mais il y a aussi la cryptographie, dans laquelle les nombres premiers ont une importance critique, car les très grands nombres possèdent une caractéristique particulièrement précieuse. Il n'y a pas de moyen rapide et facile de savoir s'ils sont premiers ou composites, dit-il.
La difficulté de discerner entre d'énormes nombres premiers et d'énormes composites permet à un cryptographe de trouver d'énormes nombres composites qui sont des facteurs de deux très grands nombres premiers, composés de centaines de chiffres.
"Imaginez que la serrure de votre porte est un numéro à 400 chiffres", dit Zegarelli. "La clé est l'un des numéros à 200 chiffres qui ont été utilisés pour créer ce numéro à 400 chiffres. Si j'ai l'un de ces facteurs dans ma poche, j'ai la clé de la maison. " Mais si vous ne Je n'ai pas ces facteurs, c'est sacrément difficile d'entrer.
C'est pourquoi les mathématiciens ont continué à travailler pour trouver des nombres premiers de plus en plus grands, dans un projet en cours appelé Great Internet Mersenne Prime Search . En 2018, ce projet a conduit à la découverte d'un nombre premier composé de 23 249 425 chiffres, suffisamment pour remplir 9 000 pages de livre, comme l'a décrit le mathématicien de l'Université de Portsmouth (Angleterre) Ittay Weiss dans The Conversation . Il a fallu 14 ans de calculs pour arriver au gigantesque nombre premier, qui est plus de 230 000 fois plus grand que le nombre estimé d'atomes dans l'univers observable !
Vous pouvez imaginer à quel point Euclide pourrait être impressionné par cela.
Maintenant c'est cool
Bien que beaucoup pensent que les nombres premiers sont aléatoires, dans un article de 2016, deux mathématiciens de l'Université de Stanford ont décrit un modèle apparent jusqu'alors inconnu, dans lequel les nombres premiers avaient tendance à être suivis par d'autres nombres premiers se terminant par certains chiffres, comme le détaille cet article de Wired . Par exemple, parmi le premier milliard de nombres premiers, un premier se terminant par 9 a environ 65 % plus de chances d'être suivi d'un premier se terminant par un que d'être suivi par un premier se terminant par neuf.
