Algebra zewnętrzna i liniowo niezależne wektory
Przypuszczam, że $v_1,\cdots,v_r$ są liniowo niezależnymi wektorami w pewnej przestrzeni wektorowej $V$. Chcę spróbować i pokazać to każdemu$w \in \bigwedge^p(V)$ że $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ dla niektórych $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ wtedy i tylko wtedy gdy $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$
Kierunek naprzód jest trywialny na piśmie $w$jako suma i liniowe wydłużenie iloczynu klina. To druga sugestia, która sprawia mi kłopoty.
Jeśli to założymy $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$, to chcę stwierdzić, że umiem pisać $w$ w odpowiedniej formie, badając dobrze dobrane naprzemienne, wieloliniowe formy z $V^{p+r}$ do jakiejś przestrzeni wektorowej, abym mógł wykorzystać uniwersalną właściwość $\bigwedge^{p+r}(V)$i oceń indukowaną mapę w $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ i dostać $0$.
Problem, który mam, jest taki $w$ niekoniecznie jest elementarnym produktem klina, więc nie mam kanonicznego sposobu myślenia o nim jako o elemencie $V^p$. Wszelkie pomysły dotyczące tego wstecznego kierunku byłyby bardzo mile widziane.
Odpowiedzi
Pozwolić $\{e_1,\ldots, e_k\}$ być podstawą $V$ takie że $v_i=e_i$ dla $1\le i\le r$. $w\in \bigwedge^p(V) \implies$
$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ Gdzie $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ i użyję $|\alpha|$do oznaczenia liczby elementów w krotce. Wyraźnie$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$Więc \ begin {align *} & v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ implies & e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ implies & \ forall \ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq 0 \ implies \ exist l_ \ alpha \ leq | \ alpha |, \ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {(Let$l_\alpha$oznacz najmniejszą taką wartość)} \\ \ implies & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ klin e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implies & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implies & w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0, l_ \ alpha = i} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \ end {align *} Mogłem gdzieś popełnić błąd, ale pomysł powinien być jasny . Jeśli masz notację, którą sugerujesz, aby była jasna, możesz ją skomentować!