Elegancki dowód irracjonalności √2

W dziedzinie matematycznych tajemnic urzekający pierwiastek kwadratowy z dwóch, reprezentowany przez enigmatyczny √ 2 , od dawna fascynuje dociekliwych. Ten artykuł ma na celu ujawnienie jego wrodzonej irracjonalności poprzez elegancką metodę nieskończonego zejścia .

Na pierwszym diagramie mamy długość boku kwadratu s oraz przeciwprostokątną d .

Poniżej znajduje się pierwszy krok naszego dowodu.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa , aby zapisać pierwiastek kwadratowy jako stosunek dwóch liczb całkowitych d i s . Są na najniższym poziomie .

Chodzi o to, że możemy pokazać, że istnieje jeszcze mniejszy prawy trójkąt równoramienny, taki że ten sam stosunek między przeciwprostokątną a długością boku kwadratu można zapisać jeszcze mniejszymi liczbami całkowitymi .

W ten sposób sprzeczne z hipotezą, że d: s jest najniższe. Powinieneś być w stanie zobaczyć na diagramie, że rzeczywiście możemy to zrobić. Argument ciągnie się w nieskończoność, a każdy kwadrat staje się coraz mniejszy w spirali .

Pokażmy, że przeciwprostokątna ma długość 2s-d , a długość boku to d-s .

Przeciwprostokątną mniejszego kwadratu oznaczamy jako alfa . Zauważ, że zarówno niebieski, jak i pomarańczowy segment mają długości s . Kiedy są połączone, nakładają się na długość alfa .

Oryginalna przeciwprostokątna jest dwa razy większa od segmentów linii s i odjąć przeciwprostokątną mniejszego kwadratu.

Przestawiając, otrzymujemy wyrażenie na alfa . Ponieważ wyrażenie jest różnicą dwóch liczb całkowitych, samo w sobie jest liczbą całkowitą.

A co z długością boku?

Dzięki powyższej konstrukcji powinniśmy być w stanie zobaczyć, że bok mniejszego kwadratu ma taką samą długość jak część odcinka s .

Bok mniejszego kwadratu nazywamy beta .

W rzeczywistości suma beta i alfa jest równa s .

Ponownie zmieniamy kolejność i stwierdzamy, że beta to d -s . Ponieważ jest to różnica dwóch liczb całkowitych, beta jest również liczbą całkowitą.

I to właściwie podsumowuje dowód, ponieważ możemy znaleźć mniejszą parę liczb całkowitych jako stosunek między przeciwprostokątną a długością boku.

d i s nie mogą być jednocześnie liczbami całkowitymi, więc pierwiastek kwadratowy z 2 musi być niewymierny.

Kręci się spiralnie przez wieczność, schodząc w nicość, ad infinitum

Dziękuję za przeczytanie. Nie zapomnij klaskać w artykuł, jeśli uznasz go za wartościowy.

Możesz mnie też wesprzeć ko-fi ☕ .