Hyperconcise Math C5: Wiele danych wejściowych

Wykres funkcji z n niezależnymi wejściami (które można uznać za funkcję jednego punktu) definiuje n-wymiarowy obiekt w n+1-wymiarowej przestrzeni. Na przykład funkcja z jednym wejściem y = f(x) (x, y i z są liczbami rzeczywistymi) definiuje krzywą (ma długość, ale pole zerowe), podczas gdy funkcja z dwoma niezależnymi wejściami (z = f (x, y)) definiuje powierzchnię (ma powierzchnię, ale zerową objętość):

Niektóre funkcje wielu zmiennych nie są zdefiniowane dla całych krzywych lub obszarów w przestrzeni wejściowej:

Granice z wieloma zmiennymi (gdy dane wejściowe zbliżają się arbitralnie do punktu (a, b…), wynik zbliża się arbitralnie do pewnej liczby) mają takie same właściwości jak granice z jedną zmienną (zauważ, że w dowolnej granicy wielu zmiennych funkcji zależy tylko od x, pozostałe zmienne można usunąć, aby utworzyć granicę jednej zmiennej). Jeśli jednak granice wzdłuż każdej krzywej w przestrzeni wejściowej, która zawiera (a, b,…) nie są takie same, ogólna granica w (a, b,…) „nie istnieje” (c jest dowolną liczbą, która nie zależy od x):

Udowodnienie, że istnieje granica wielu zmiennych, zwykle wymaga użycia właściwości granicznych, uproszczenia, zmiany zmiennych lub twierdzenia o ściskaniu.