Ile punktów można pominąć w rzutowaniu odmiany na linię?

Question

Pozwolić $V$ być zamkniętą podgrupą $\mathbb{A}^n$. Pozwolić$\pi:\mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^1$ być mapą projekcji, która zapomina o ostatnim $n-1$współrzędne (powiedzmy). Załóżmy, że zamknięcie Zariski$\pi(V)$ jest $\mathbb{A}^1$. Następnie$\pi(V)$ musi mieć formę $\mathbb{A}^1\setminus S$, gdzie $S$ jest skończonym zbiorem punktów w $\mathbb{A}^1$. Jakiego rodzaju użyteczną granicę możemy podać na podstawie liczby punktów$|S|$ w $S$?

Szukam oprawy formy $|S|\leq (\deg V)^D$, gdzie $D$ jest funkcją $n$. Byłoby bardzo miło, gdyby$D$ były ograniczone przez wielomian na $n$. (Myślę, że już wiem, jak stać się przerażającym$D$.)

Answer 1

Wydaje mi się, że można związać $|S|\leq (n-1) \deg(V)$.

Po pierwsze, zauważ, że możemy pracować projekcyjnie, to znaczy będziemy mogli pracować z zamknięciem projekcyjnym $\overline{V}\subset \mathbb{P}^n$. W końcu punkty$\overline{V}\setminus V$ wniesie tylko punkt w nieskończoności w $\mathbb{P}^1$i tak czy inaczej nie liczymy tego punktu. Będziemy pisać$V$ zamiast $\overline{V}$ odtąd.

Możemy zdefiniować mapę $\pi_n:\mathbf{P}^n\setminus P_{0,n}\to \mathbf{P}^{n-1}$ przez $\pi_n(x_0:x_1:\dotsc:x_n) = (x_0:\dotsc:x_{n-1})$, gdzie $P_{0,n}\in \mathbf{P}^n$ o to chodzi $(0:0:\dotsc:0:*)$. Jak wskazano w artykule Ile dziur może mieć rzut rozmaitości algebraicznej? , lub)$\dim(\overline{\pi_n(V)})=\dim(V)$ i $\pi_n(V)$ zawiera $\overline{\pi_n(V)}\setminus W$, gdzie $W$ to różnorodność wymiarów $\leq \dim(V)-1$ i stopień $\leq \deg(V)$lub (b) $V$ jest stożkiem, którego wierzchołek zawiera $P_{0,n}$, a więc $\pi_n(V)$ jest zamknięty i wymiarowy $\dim(V)-1$. Wyraźnie$\deg(\overline{\pi_n(V)})\leq \deg(V)$.

Iterujemy: definiujemy $\pi_{n-1}:\mathbf{P}^{n-1}\setminus P_{0,n-1}\to\mathbf{P}^{n-2}$tak jak powyżej. Jeśli mamy teraz przypadek (a), mamy$\dim(\overline{\pi_{n-1}(\pi_n(V))})=\dim(\overline{\pi_n(V)})$, i $\pi_{n-1}(\pi_n(V))$ zawiera $\pi_n(\pi_{n-1}(V))\setminus (W' \cup \overline{\pi_{n-1}(W)})$, gdzie $\deg(W')\leq \deg(V)$ i $\dim(W')\leq \dim(\overline{\pi_n(V)})-1$, i $W$jest jak powyżej (i jest pusty, gdybyśmy byli w przypadku (b) wcześniej). Jeśli mamy przypadek (b), nie musimy usuwać nowej odmiany$W'$, a także zauważamy, że to, z czego musimy się usunąć $\pi_{n-1}(\overline{\pi_n(V)})$ jest odmianą składającą się z punktów $\pi_{n-1}(W)$ którego preimage pod $\pi_{n-1}$ jest zawarty w $W$. Ta różnorodność jest albo pusta, albo wymiarowa$\leq \dim(W)-1$; przypuszczalnie jego stopień$\leq \deg(W)$.

Kontynuujemy iterację i gotowe.