Jakie jest rozwiązanie $x^3+x=1$? [Zamknięte]
Według Wolframa | Alpha rozwiązanie $x^3+x=1$ jest przybliżona $0.68233$a dokładnie to potworność :
$x_0=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9+\sqrt{93})}}{3^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9+\sqrt{93})}}$
$x^3+x=1$jest tak prosta, że nie wierzę, że ten brzydki konstrukt jest najprostszy. Czy mam rację?
Odpowiedzi
$$ \left( \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} + \left( \frac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} $$
Alternatywnie $$x=\frac2{\sqrt3}\sinh\left( \frac13\sinh^{-1}\frac{3\sqrt3}2\right)$$ co może być mniej potworne.
Możesz przestawić x ^ 3 + x = 1 na x ^ 3 = 1 - x i niech x = u + v. Zauważ, że zgodnie z twierdzeniem dwumianowym (u + v) ^ 3 = u ^ 3 + 3vu ^ 2 + 3uv ^ 2 + v ^ 3 = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uv (u + v), co sugeruje, że u ^ 3 + v ^ 3 = 1, podczas gdy -1 = 3uv. -1 = 3uv implikuje v = -1 / (3u), więc u ^ 3 - 1 / (27u ^ 3) = 1, co oznacza 27u ^ 6 - 1 = 27u ^ 3. Możesz zmienić to na 27 (u ^ 3) ^ 2 - 27u ^ 3 - 1 = 0. To jest kwadrat w odniesieniu do u ^ 3, więc możesz użyć wzoru kwadratowego, aby stwierdzić, że u ^ 3 = [27 + sqrt (93)] / 54 lub u ^ 3 = [27 - sqrt (93)] / 54, chociaż to naprawdę nie ma znaczenia, ponieważ v ^ 3 zawsze będzie koniugatem u ^ 3. Dlatego x = u + v = cbrt ([27 + sqrt (93)] / 54) + cbrt ([27 + sqrt (93)] / 54). Jest to ostatecznie równoważne temu, co zostało opublikowane, wymaga tylko pewnych manipulacji algebraicznych, aby się tam dostać. I tak, to najprostszy sposób, w jaki możesz napisać odpowiedź. Jest jak jest. Niestety, proste problemy nie zawsze mają proste rozwiązania. A praw logiki i tak nie obchodzi nasze mizerne pojęcie prostoty.
Jeśli ktoś przestawia $x^{3}+x= 1$ tak jak
$x^{2} + 1 = \frac1x$
następnie załączony rysunek przedstawia alternatywne podejście do iteracyjnego uzyskiwania (rzeczywistego) rozwiązania, zaczynając od pewnego przybliżenia pierwiastka (np. $x_0=0.5$ na rysunku), obliczanie $x_0^{2} + 1$ aby uzyskać pierwszą iterację $x_1=\frac{1}{x_0^{2}+1}$i tak dalej. W porównaniu z nieuniknionymi sposobami wyrażenia dokładnego rozwiązania, iteracyjne równanie zbieżności na 0,68233 (5 dp) wygląda raczej prosto:
$x_{n+1} = \frac{1}{x_n^{2}+1}$
Taka jest symetria krzywych (pokazałem tylko kwadrant z rzeczywistym pierwiastkiem), nie ma ograniczenia co do wyboru początkowej wartości rzeczywistej $x_0$ osiągnąć konwergencję.
