Pozwolić $G$ być skończoną grupą i $A:=\{a\in G\mid a\neq a^{-1}\}$. Udowodnij to $|A|$ jest równa.
Pozwolić $G$ być skończoną grupą i $A:=\{a \in G\mid a \neq a^{-1} \}$ zestaw zawierający wszystkie elementy $G$które nie są równe ich odwrotnościom. Udowodnij to$A$ zawiera parzystą liczbę elementów.
Widziałem kilka postów tutaj tutaj o tym dowód, ale żaden z nich były podobne do mojej próbie.
Oto moja próba:
Od $G$ jest więc skończona $A$ jest również skończona.
Dodatkowo każdy element $A$ ma odwrotność, ponieważ $G$ to grupa.
Teraz podziel $A$ w dwóch zestawach tzw $X$ i $Y$, takie że $X\subseteq A$ i $Y\subseteq A$, tak że każdy element $X$ ma swoją odwrotność w $Y$.
Pozwolić $k_{1},k_{2} \in \mathbb{N}$, takie że $\left | X \right | = k_{1}$ i $\left | Y \right | = k_{2}$.
Ponieważ nie ma elementu równego jego odwrotności w $A$, następnie $ \left | A \right | = \left | X \right | + \left | Y \right |$.
Ponadto, $\left | X \right | = \left | Y \right |$ dlatego $A$ zawiera tylko elementy, które różnią się od odpowiadających im odwrotności.
Więc \ begin {aligned} \ left | A \ w prawo | & = \ lewo | X \ right | + \ lewo | Y \ right | \\ & = k_ {1} + k_ {2} && \ text {[$\left | X \right | = k_{1}$ i $\left | Y \right | = k_{2}$]} \\ & = k_ {1} + k_ {1} && \ text {[$\left | X \right | = \left | Y \right |$]} \\ & = 2 \ cdot k_ {1} \ end {aligned}
$2k_{1}$ jest liczbą parzystą z definicji liczby parzystej.
Dlatego zestaw $A$ zawiera parzystą liczbę elementów.
Czy mój dowód wygląda dobrze? Każda pomoc jest doceniana!
Odpowiedzi
Jest prostszy podział $A$to załatwia sprawę. Zamiast dzielić$A$ na dwa rozłączne podzbiory o równej liczności, podziel je na zbiór rozłączny parami dwóch podzbiorów elementów: $$A = \bigcup_{x \in A} \{x,x^{-1}\} $$
Masz fajny pomysł, ale zwróćmy uwagę na kilka kwestii:
-
Teraz podziel $A$ w dwóch zestawach tzw $X$ i $Y$, takie że $X\subseteq A$ i $Y\subseteq A$, tak że każdy element $X$ ma swoją odwrotność w $Y$.
OK, oto kilka przykładów: (a) $X=\emptyset$ i $Y=A$; (b)$X=A$ i $Y=A$. Aby pomysł zadziałał, musisz dodać: (i) to dla wszystkich$x\in A$, $x\in X$ lub $x\in Y$; (ii) to$X\cap Y=\emptyset$
Jeśli dodasz powyższe warunki, $\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$ wynika głównie z tego $x\mapsto x^{-1}$ jest zastrzykiem z $X$ do $Y$(co jest prawdą niezależnie od (i) lub (ii)), plus suriektywność dzięki (i). Warunek (ii) lub fakt, że żaden element nie jest równy swojej odwrotności, nie mają znaczenia dla tego celu.
Z drugiej strony, (ii) jest potrzebne, aby to udowodnić $\lvert A\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert$.
Uważny czytelnik może również zakwestionować istnienie pary zbiorów, takich jak w (1).