Pozwolić $G$ być skończoną grupą i $A:=\{a\in G\mid a\neq a^{-1}\}$. Udowodnij to $|A|$ jest równa.

Nov 21 2020

Pozwolić $G$ być skończoną grupą i $A:=\{a \in G\mid a \neq a^{-1} \}$ zestaw zawierający wszystkie elementy $G$które nie są równe ich odwrotnościom. Udowodnij to$A$ zawiera parzystą liczbę elementów.

Widziałem kilka postów tutaj tutaj o tym dowód, ale żaden z nich były podobne do mojej próbie.

Oto moja próba:

Od $G$ jest więc skończona $A$ jest również skończona.

Dodatkowo każdy element $A$ ma odwrotność, ponieważ $G$ to grupa.

Teraz podziel $A$ w dwóch zestawach tzw $X$ i $Y$, takie że $X\subseteq A$ i $Y\subseteq A$, tak że każdy element $X$ ma swoją odwrotność w $Y$.

Pozwolić $k_{1},k_{2} \in \mathbb{N}$, takie że $\left | X \right | = k_{1}$ i $\left | Y \right | = k_{2}$.

Ponieważ nie ma elementu równego jego odwrotności w $A$, następnie $ \left | A \right | = \left | X \right | + \left | Y \right |$.

Ponadto, $\left | X \right | = \left | Y \right |$ dlatego $A$ zawiera tylko elementy, które różnią się od odpowiadających im odwrotności.

Więc \ begin {aligned} \ left | A \ w prawo | & = \ lewo | X \ right | + \ lewo | Y \ right | \\ & = k_ {1} + k_ {2} && \ text {[$\left | X \right | = k_{1}$ i $\left | Y \right | = k_{2}$]} \\ & = k_ {1} + k_ {1} && \ text {[$\left | X \right | = \left | Y \right |$]} \\ & = 2 \ cdot k_ {1} \ end {aligned}

$2k_{1}$ jest liczbą parzystą z definicji liczby parzystej.

Dlatego zestaw $A$ zawiera parzystą liczbę elementów.

Czy mój dowód wygląda dobrze? Każda pomoc jest doceniana!

Odpowiedzi

7 LeeMosher Nov 21 2020 at 03:40

Jest prostszy podział $A$to załatwia sprawę. Zamiast dzielić$A$ na dwa rozłączne podzbiory o równej liczności, podziel je na zbiór rozłączny parami dwóch podzbiorów elementów: $$A = \bigcup_{x \in A} \{x,x^{-1}\} $$

2 Gae.S. Nov 21 2020 at 03:45

Masz fajny pomysł, ale zwróćmy uwagę na kilka kwestii:

  1. Teraz podziel $A$ w dwóch zestawach tzw $X$ i $Y$, takie że $X\subseteq A$ i $Y\subseteq A$, tak że każdy element $X$ ma swoją odwrotność w $Y$.

    OK, oto kilka przykładów: (a) $X=\emptyset$ i $Y=A$; (b)$X=A$ i $Y=A$. Aby pomysł zadziałał, musisz dodać: (i) to dla wszystkich$x\in A$, $x\in X$ lub $x\in Y$; (ii) to$X\cap Y=\emptyset$

  2. Jeśli dodasz powyższe warunki, $\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$ wynika głównie z tego $x\mapsto x^{-1}$ jest zastrzykiem z $X$ do $Y$(co jest prawdą niezależnie od (i) lub (ii)), plus suriektywność dzięki (i). Warunek (ii) lub fakt, że żaden element nie jest równy swojej odwrotności, nie mają znaczenia dla tego celu.

  3. Z drugiej strony, (ii) jest potrzebne, aby to udowodnić $\lvert A\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert$.

Uważny czytelnik może również zakwestionować istnienie pary zbiorów, takich jak w (1).