Problem kombinatoryki - wybór $6$ karty z $32$-talia kart, aby były dokładnie trzy różne kolory (Włączenie-wykluczenie)

Question

Załóżmy, że mamy talię $32$ karty z $8$karty każdego z czterech kolorów. W jaki sposób możemy wybrać sześć kart, tak aby wśród wybranych kart znalazły się karty w dokładnie trzech różnych kolorach?

Uważam, że zasada włączenia-wykluczenia jest sposobem rozwiązania tego problemu, gdzie najpierw liczymy całkowitą liczbę sposobów do wyboru $6$ karty z $32$ (który jest $\binom{32}{6}$), a następnie wyklucz liczbę kombinacji, w których brakuje dokładnie dwóch kolorów (czyli $\binom{4}{2}\binom{16}{6}$), a następnie za pomocą formuły włączanie-wykluczanie dodaj kombinacje, w których brakuje wszystkich trzech kolorów (czyli $\binom{4}{3}\binom{8}{6}$). Liczba kombinacji wszystkich$4$ brak garniturów to oczywiście zero.

Moje pytanie brzmi - gdzie moja logika jest nieprawidłowa? Wiem, że tak, ale nie mogę dostrzec błędu.

Answer 1

Ręce, które są nieważne, lepiej policzyć dokładnie w jednym kolorze.

Jeśli spróbujemy $\binom{24}6 - \binom4 2 \binom{16}6 + \binom4 3\binom8 6$, otrzymamy liczbę unieważnionych rąk w co najmniej jednym kolorze void, ponieważ odejmujemy tylko przekroczenie liczby wielokrotnych voidów, natomiast aby otrzymać liczbę z dokładnie jednym void color, musimy odjąć całą liczbę mnożników nieważne

Ta liczba jest 4 razy większa niż liczba rozdań, które zostały unieważnione w, powiedzmy,$\;$$\ spadesuit $, które można łączyć w 3 $ sposoby, aby uformować ręce unieważnione w kolorach 2 $ i wyeliminować over count, dodając 3 $ sposobów, w jakie ręka może zostać unieważniona w 3 $ suitach w połączeniu z $ \ spadesuit $ dać nam 4 $ [\ binom {24} 6 - 3 \ binom {16} 6 +3 \ binom8 6] $

Answer 2

Są tu dwie kwestie. Po pierwsze, standardowa formuła włączenia-wykluczenia zakłada, że ​​zaczynasz od odejmowania zdarzeń, w których brakuje przynajmniej jednej rzeczy, tak że wszystko, w których brakuje dwóch, jest liczone dwa razy, trzy brakujące liczone są trzy razy itd., I to oznacza, że ​​tylko Ty trzeba dodawać lub odejmować raz, a które robisz alternatywnie.

Tutaj zaczynasz od odejmowania rzeczy, w których brakuje dwóch. Oznacza to, że trzykrotnie odejmowałeś wszystko z trzema brakami (z trzech kolorów możesz wybrać parę na trzy sposoby), więc musisz dodać dwa razy więcej sposobów, aby brakowało trzech kolorów. (Gdyby to była możliwa sytuacja, musiałbyś wtedy odjąć trzykrotną liczbę sposobów, w których brakuje czterech: do tej pory odejmowałbyś te konfiguracje sześć razy i dodawał je osiem razy).

Drugi problem polega na tym, że nie uwzględniłeś wszystkich sytuacji, w których występują wszystkie cztery kolory. Więc po dokonaniu zmiany z poprzedniego akapitu obliczyłeś liczbę sposobów posiadania co najmniej trzech kolorów spośród wybranych kart.