Przenoszenie zewnętrznego mechanizmu różnicowego/pochodnego wewnątrz produktu klinowego
Założenia : Niech$M$być gładkim$m$-Kolektor. (W razie potrzeby: Niech$M$być zorientowanym, a następnie zorientowanym. Pozwolić$M$być kompaktowym. Pozwolić$(M,g)$być rozmaitością Riemanna.)
Pozwolić$\Omega^jM$być zbiorem gładkich$k$- formularze włączone$M$, dla$j=0, 1, ..., m$. Pozwolić$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$być włączonym zewnętrznym dyferencjałem / pochodną$\Omega^jM$(oparte na$d: \Omega(M) \to \Omega(M)$, z$\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$).
Pozwolić$k \in \{0, 1, ..., m\}$. Pozwolić$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$.
Obserwacje :
- $d_k \alpha \wedge \gamma$to gładka górna forma (aka gładka$m$-Formularz)
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$to gładka górna forma (aka gładka$m$-Formularz)
Pytanie 1 : Zakładając, że powyższe obserwacje są poprawne, czy są one równe?
Pytanie 2 : Ogólnie rzecz biorąc, czy możemy po prostu przenieść zewnętrzną różniczkę/pochodną przez produkty klinowe i po prostu pomnożyć?$(-1)^{\text{something}}$?
Pytanie 3 : Czy we wszystkim powyżej zakładamy jakieś dodatkowe rzeczy?$M$jak orientowane/zorientowane/kompaktowe/riemannowskie?
Pytanie 4 : Jeśli nie na pytanie 1, to czy każda z 2 form ma przynajmniej równe całki, tj. wartości, które otrzymujemy, gdy wstawiamy każdą do$\int_M$są równe? Tutaj, teraz przypuszczamy$M$jest orientowalny, a następnie zorientowany i wydaje mi się, że jest zwarty (w przeciwnym razie musimy założyć, że formy mają zwartą obsługę lub coś takiego).
Kontekst : Pochodzi z niektórych definicji i twierdzeń prowadzących do twierdzenia o rozkładzie Hodge'a, w tym definicji operatora gwiazdy Hodge'a, ale próbuję sprawdzić, czy poprawnie rozumiem części inne niż Hodge. ($\gamma$jest w rzeczywistości obrazem niektórych$\beta \in \Omega^{k+1}M$pod operatorem gwiazdy Hodge'a.)
Odpowiedzi
Oto próba odpowiedzi.
Pytanie 1 Nie ma potrzeby takiej równości. Prawdą jest to, że$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
A zakładając, że twoja równość jest prawdziwa, doprowadzisz do założenia o$d(\alpha\wedge\gamma)$
Oto konkretny kontrprzykład:\begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
Pytanie 2 odpowiedź brzmi nie. Patrz wyżej.
Pytanie 3 powyżej, obliczenia są lokalne, więc nie zależy to od zwartości czy orientacji: rozszerz kontrprzykład o zero poza wykres.
Pytanie 4 nadal brzmi nie: w powyższym kontrprzykładzie,$d\alpha\wedge \gamma = 0$, zatem ma całkę zero, ale$\alpha\wedge d\gamma$jest formą objętości na orientowalnym kolektorze, ma niezerową całkę.
Odnośnie odpowiedzi @JanBohr (która prowadzi do dwóch samooceny), muszę to dodać na wypadek$M$jest zorientowany, to twierdzenie Stokesa stwierdza, że$$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$a zatem,$$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$a zatem istnieje (do znaku) równość, gdy tylko$M$nie ma granic lub$\alpha\wedge \gamma$jest zero włączone$\partial M$.
Jedną z cech definiujących zewnętrzną różniczkę jest reguła Leibniza$$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$gdzie$k$jest stopień$\alpha$, zobacz np. na wikipedii . Odnosi się to do dowolnych gładkich rozmaitości, bez potrzeby stosowania metryki riemannowskiej lub orientacji. Tak jak$k$oraz$k^2$mają tę samą parzystość, prawa strona na poprzednim wyświetlaczu to dokładnie różnica między twoimi dwoma$m$-formy. W szczególności są równe iff$\alpha \wedge \gamma$zamknięte. Całka nad obydwoma$m$-formularze, powiedz jeśli$M$jest zorientowana i zwarta, jest taka sama tylko dlatego, że całka dokładnej formy wynosi zero według twierdzenia Stokesa.
Odnośnie kontrprzykładu @DIdier_ dla pytania 4: Jest to sytuacja, w której całka brzegowa w twierdzeniu Stokesa nie znika (dla żadnej gładkiej domeny w$\mathbb{R}^n$). Powyżej unikam tego problemu, zakładając$M$być bez granic. Innym wyjściem jest założenie, że$\alpha $oraz$\gamma$mają zwartą podporę we wnętrzu.