Fractales et ses dimensions

Les fractales sont des formes folles qui montrent l'ordre et les motifs dans des conceptions chaotiques. Il a beaucoup de courbes fascinantes. Ces modèles intéressants ont été étudiés individuellement en raison de ses propriétés uniques. L'un d'eux est le triangle de Sierpinski .

Le triangle de Sierpinski est essentiellement un triangle équilatéral qui est divisé en quatre triangles équilatéraux (comme indiqué dans l'image ci-dessous) et le triangle central est supprimé. Ensuite, ces sous-triangles sont à nouveau divisés de la même manière en quatre triangles équilatéraux et le triangle central est supprimé. Ce processus est itéré à l'infini et dans le processus, le triangle complexe reçu est le triangle de Sierpinski. Maintenant, si dans un triangle de Pascal, tous les nombres impairs sont colorés en noir et les nombres pairs sont colorés en blanc, alors ce que vous obtenez finalement est le triangle de Sierpinski. Inattendu, non ?

Les fractales n'étaient pas seulement des formes ou des motifs aléatoires créés mathématiquement. Il a également été vu dans le graphique de la population. Il a été observé que la nourriture augmentait de manière linéaire, mais que la population augmentait de manière exponentielle. On a découvert plus tard que la population ne continuait pas à augmenter de cette manière. Il a augmenté pendant quelques années, puis par manque de nourriture et de ressources, il a de nouveau diminué. Ces changements de population ont suivi une fonction simple,

[Laissons l'équation ci-dessus être étiquetée (1).]

Où, X est la population de l'année actuelle et X_next est la population de l'année après X et r est une constante qui peut être ajustée en fonction de la population modélisée. Pour observer le comportement à long terme des systèmes, cette formule a été répétée maintes et maintes fois et pour voir ce qui se passe. Ce processus est appelé itération.

L'équation (1) est tracée en prenant 'r' comme 3,5 et en supposant avec une situation hypothétique que la valeur de X n'est qu'entre 0 et 1, et itérée à l'infini. Voici le graphique obtenu :

Ce graphique a été considéré comme une fractale car il montrait la propriété d'auto-similarité en lui. Lorsque vous zoomez sur la "fenêtre d'ordre" du graphique, qui est le large espace dans le graphique, vous remarquerez que le même graphique d'origine est à nouveau présent dans cette fenêtre. Plus vous zoomez, plus vous retrouvez le même graphique encore et encore dans la fenêtre du chaos. Cette fractale a été appelée "le figuier".

Comme je l'avais mentionné dans un de mes articles précédents, les fractales sont des formes rugueuses et irrégulières. Cette rugosité et cette irrégularité peuvent être facilement calculées. Comment? En calculant leur dimension fractale. Felix Hausdorff et Abram Besicovitch ont découvert que les fractales avaient des dimensions non entières. Ils ont décrit que les fractales sont des courbes qui ont une dimension « entre » les dimensions entières. Ces dimensions fractales sont donc également appelées dimension de Hausdorff-Besicovitch. Mais comment calculer ces dimensions ? Il existe deux méthodes principales qui peuvent être utilisées pour calculer facilement la dimension.

Premièrement, en utilisant la propriété d'auto-similarité que possèdent les fractales. Prenons des formes avec des dimensions connues 1, 2 et 3. Pour la dimension un, prenons une ligne de longueur 1 unité et réduisons-la à 1/4 de sa longueur d'origine. Donc, sa longueur est maintenant de 1/4 d'unités. Pour obtenir la longueur d'origine, nous devons multiplier ce 1/4 de la ligne quatre fois. Soit le facteur, la ligne est réduite de, soit 's', le nombre auquel 's' est multiplié pour obtenir la longueur d'origine soit 'n' et la dimension soit 'D'. Ainsi, vous remarquerez que dans ce cas,

Cette formule est valable pour n'importe quelle dimension. Supposons que nous essayons de le prouver en utilisant l'aire d'une forme à 2 dimensions. Donc, réduisons chaque côté d'un carré ayant une unité de longueur à la moitié de sa longueur d'origine afin que sa superficie soit réduite de. 1/4ème. Ainsi, pour retrouver le carré d'origine, nous devons multiplier le carré réduit par 4 fois.

Ainsi, D = 2, qui était la dimension requise.
De même, cela peut être prouvé pour une forme en 3 dimensions.

Ainsi, l'équation générale trouvée est,

L'équation (2) est l'une des formules qui peut être utilisée pour trouver la dimension fractale d'une forme. Maintenant, supposons que nous prenions une courbe de Koch,

Avec les valeurs données ci-dessus de n et s, si nous essayons de calculer sa dimension fractale avec l'équation (2), nous obtenons approximativement 1,26 . C'est la dimension de la fractale, courbe de Koch.

Deuxièmement, en utilisant une méthode de comptage par grille.
Dans cette méthode, vous devez simplement dessiner des grilles sur l'image fractale, chaque case ayant une échelle de 1 unité. Dessinez ensuite à nouveau une grille dessus, mais chaque case ayant une échelle de 1/2 cette fois. Encore une fois, chaque case ayant une échelle de 1/4. Comptez le nombre de cases traversées par la fractale. Vous pouvez calculer la dimension en utilisant la formule suivante,

où n( ) est le nombre de carrés contenant l'image et 1/s est son échelle de grille. Nous pouvons maintenant calculer la dimension de la courbe de Koch. Vous trouverez ci-dessous trois grilles d'échelle dans le rapport 1 : 1/2 : 1/4. En comptant, le nombre de cases des première, deuxième et troisième grilles s'est avéré être respectivement de 18, 41 et 105.

Calcul de dimension à l'aide de la grille d'échelle 1 et 1/2,

Calcul de la dimension à l'aide de la grille d'échelle 1 et 1/4,

Calcul de dimension à l'aide de la grille d'échelle 1/2 et 1/4,

En trouvant la moyenne de ces trois valeurs, on a trouvé qu'elle était d'environ 1,27. C'est proche de 1,26 qui est la dimension originale de la courbe de Koch.

Ainsi, ce sont deux façons simples de calculer la dimension fractale d'une image fractale.