La constante d'Euler

"e". Chacun d'entre nous a rencontré "e". Qu'est-ce que c'est?

C'est le 5ème alphabet et la 2ème voyelle de la langue anglaise. C'est ce que nous disons quand nous montrons nos dents à quelqu'un. Mais, les mathématiciens le reconnaissent comme la constante d'Euler . Aux côtés d'autres constantes mathématiques importantes telles que π , i, Φ , sqrt {2}, etc., ce nombre constant et irrationnel a une valeur de 2,718281828459045235 ……

La plupart des constantes mathématiques sont géométriques. Par exemple, π est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, sqrt{2} est la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les branches mesurent l'unité. Mais, "e" est une constante qui n'est pas définie par la géométrie ou une forme quelconque. Il est basé sur la croissance ou le taux de changement. Mais comment?

Revenons au 17ème siècle, lorsque Jacob Bernoulli travaillait sur les intérêts composés, c'est-à-dire, gagner des intérêts sur votre argent.

Supposons que vous fassiez partie d'une banque, une banque très généreuse. Disons que vous avez donné 1 ₹ à la banque et que la banque donne un intérêt de 100 % par an. (Une banque très généreuse en effet). Alors maintenant, vers la fin de l'année, vous aurez ₹ 2. Donc, si vous gagnez un intérêt de 50 % tous les 6 mois, vous retrouverez-vous avec le même montant, 2 ₹ ? Ou plus que ça ? ou moins que ça ? Calculons et voyons, d'accord ?

Eh bien, cela montre que si vous prenez 50 % d'intérêts tous les 6 mois, cela vous aidera à gagner plus que d'avoir un intérêt de 100 % par an. Qu'en est-il si vous prenez 1/12ème d'intérêt chaque mois ?

Alors, ce sera,

Si 1/52ème d'intérêt est donné par semaine, votre montant final serait,

Qu'en est-il de 1/365e d'intérêt chaque jour, alors votre montant vers la fin de l'année après avoir donné 1 ₹ à la banque serait,

Vous pouvez également calculer le montant d'argent que vous gagnez chaque heure, chaque minute, chaque seconde ou même chaque milliseconde !

Alors, qu'observez-vous ? La valeur est calculée lorsque n augmente à l'aide de la formule générale, comme

Ainsi, vous pouvez remarquer qu'à mesure que la valeur de n augmente, la valeur se rapproche de plus en plus d'une certaine valeur. C'est la valeur de « e ».

Mais, Jacob Bernoulli n'a pas calculé la valeur de la constante. Il savait juste que sa valeur serait quelque part entre 2 et 3. C'est Euler qui a finalement calculé cette constante et prouvé qu'elle était irrationnelle. Il a utilisé une formule pour calculer la valeur, non

Mais une autre formule. Il a utilisé la formule suivante.

Il s'agit d'une fraction continue . Vous pouvez dire que comme cela continue indéfiniment, il y a un modèle à cette fraction, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……Donc, si cela continue indéfiniment, alors, c'est une fraction irrationnelle. S'il s'était terminé, il aurait été rationnel car vous pouvez l'écrire sous forme de fraction. Ainsi, cela prouve que « e » est une constante irrationnelle.

Pour calculer la valeur de « e », Euler a utilisé une formule différente. C'est,

« e », c'est le langage naturel de la croissance, c'est le langage naturel du calcul. Pourquoi?

La figure ci-dessus montre le graphique de e^x. Maintenant, la spécialité d'un graphique e^x est que, si vous prenez n'importe quel point sur le graphique, la valeur de ce point est e^x, le gradient à ce point est e^x et la zone sous le graphique à partir de ce point à partir de -∞ est aussi e^x. Ainsi, lorsque vous intégrez ou différenciez e^x, vous obtenez e^x lui-même. Cette constante "e", forme un outil très puissant en calcul.

La constante d'Euler "e" est également connue pour rassembler certaines des grandes constantes mathématiques dans une formule, c'est-à-dire la racine de -1, qui est i, π, 1 et 0. Ceci est également souvent appelé comme le plus belle équation en maths :

J'écrirai plus sur cette équation dans un prochain article.