Prosty dowód

Liczba parzysta plus liczba parzysta daje liczbę parzystą.

Liczba nieparzysta plus liczba nieparzysta daje liczbę nieparzystą.

Nieparzysty plus parzysty daje nieparzysty.

Prawdopodobnie nauczono cię tej prostej zasady w szkole podstawowej. Byłem. I wydaje się, że to prawda. Wypróbuj kilka razy, z kilkoma różnymi liczbami, i zawsze działa. (Jeśli nie, sprawdź swoją pracę. Jeśli nadal nie działa, opublikuj).

Ale czy to działa dla wszystkich liczb? Nieważne jak duże?

Różnica między matematyką, której zwykle uczymy się w szkole, a matematyką, którą zajmują się matematycy, jest następująca:

1. W szkole uczymy się takich zasad, abyśmy mogli z nich korzystać podczas „robienia matematyki”.
2. Matematycy próbują odkryć, jakie są reguły i wymyślić najbardziej zwięzłe, eleganckie argumenty, aby pokazać, dlaczego te reguły są (lub nie są) prawdziwe.

Jak przekonująco (i humorystycznie) opisuje Paul Lockhart w swoim eseju A Mathematician's Lament, sztuka znajdowania prawdy jest zarówno prawdziwą matematyką, jak i świetną zabawą. I nie muszą to być formalne, sztywne dowody, których czasami uczy się w szkole. Chodzi tylko o szukanie wzorców i elegancką argumentację.

Zamiast mówić młodym uczniom zasady dotyczące sum liczb parzystych i nieparzystych, co by było, gdybyśmy najpierw poprosili ich, aby wymyślili, jakie mogą być reguły, a następnie poprosili ich o wyjaśnienie, dlaczego jest to reguła?

Oto przykład rodzaju myślenia, który może przejść do „dowodu”, który jest tylko jednym z wielu możliwych rozwiązań:

Najpierw policzmy nie abstrakcyjnymi cyframi, ale przedmiotami namacalnymi, w tym przypadku kwadratami. Oto pięć kwadratów:

[obraz kilku dowolnie rozmieszczonych kwadratów]

Ponieważ liczba parzysta oznacza, że ​​można ją podzielić przez dwa, wiemy, że parzystą liczbę kwadratów możemy ułożyć w dwa rzędy tej samej długości, a końce będą „kwadratowe”:

Z drugiej strony liczba nieparzysta zawsze będzie miała „postrzępiony” koniec, w którym wiersze nie są wyrównane:

Przestawiając te zdjęcia, możemy teraz zobaczyć, że nasze zasady wydają się być prawdziwe. Dwie liczby parzyste, ułożone końcami, mają parzyste końce.

Odwracając jedną liczbę nieparzystą i sklejając ze sobą dwa postrzępione końce, dwie liczby nieparzyste mają również parzyste końce.

Ale jeden nieparzysty i jeden parzysty, bez względu na to, jak obracamy i obracamy, nigdy nie daje nam równych końców.

Będzie to prawdą bez względu na to, jak długie są nasze numery, ponieważ liczy się tylko to, czy końce są postrzępione, czy kwadratowe. (Te błyskawice mają sugerować dowolną odległość… wyobraź sobie, że są tam tysiące kwadratów.)

CO BYŁO DO OKAZANIA

Czy jest to ważny dowód matematyczny? Czy to ma znaczenie? Dziecko lub grupa dzieci, które poświęciły czas na wymyślanie tego rodzaju „dowodów”, rozwinie zrozumienie i być może entuzjazm dla matematyki, którego nie zapewni im żadna ilość ćwiczeń na pamięć. Co ważniejsze, zaczną się uczyć „co robić, gdy nie wiesz, co robić”. Oznacza to pewność siebie w rozwiązywaniu problemów, których wcześniej nie widziałeś, zamiast po prostu podążać za krokami problemów, które masz.