Teoria chaosu

Chaos jest wszędzie wokół nas. Fraktale rodzą się z chaosu. Są wzorami i porządkami powstałymi w chaosie. Geometria fraktalna jest częścią szerszego tematu zwanego teorią chaosu. Czym więc jest „chaos” i o co chodzi w „teorii chaosu” ?

Fraktale zrodziły się z większej teorii zwanej „ teorią chaosu ”. Czym więc jest ta teoria chaosu? Zagrajmy w małą grę, aby dowiedzieć się…

[Po raz pierwszy zobaczyłem teorię chaosu wyjaśnioną przez tę grę na kanale YouTube Numberphile i bardzo mnie to zafascynowało. Więc postaram się jak najlepiej powtórzyć i wyjaśnić to w oparciu o moje zrozumienie.]

Nazwijmy tę grę grą chaosu. Więc czego potrzebujesz, aby w nią zagrać? Tylko czysta kartka papieru, coś do pisania i kostka do toczenia.

Teraz zacznijmy,

Zaczniemy od zaznaczenia na kartce trzech kropek, prawie jak trzy wierzchołki trójkąta. Nazwij kropki A, B i C. Narysuj kolejny punkt jako punkt początkowy. Teraz rzuć kostką, jeśli wypadnie 1 lub 2, zaznacz kropkę między punktem początkowym a A. Ale jeśli wypadnie 3 lub 4, zaznacz kropkę między punktem początkowym a B lub w przeciwnym razie zaznacz kropkę między punktem początkowym a C, to znaczy, jeśli wypadnie 5 lub 6.

Powiedzmy, że wypadnie 2, więc zaznaczasz kropkę między punktem początkowym a A.

Następnie ponownie rzucasz kostką. Załóżmy, że 2 pojawi się ponownie. Następnie zaznaczasz punkt między poprzednią kropką, którą postawiłeś, a literą A. Następnie powtarzasz proces.

Po kilku próbach, powiedzmy, że masz 4, zaznaczasz punkt między poprzednim punktem, który zaznaczyłeś, a B.

Masz pomysł, prawda?

Ale robiąc to przez jakiś czas, zauważyłbyś tylko przypadkowe i chaotyczne kropki na kartce. Ale co, jeśli te przypadkowe kropki doprowadzą nas do czegoś nieoczekiwanego? Aby zobaczyć wyniki, możemy poprosić o to komputer. Istnieje wiele stron internetowych, na których jest to możliwe. Spróbowałem jednego z nich. (Aby spróbować samemu, kliknij tutaj ). W tym celu ustawiłem liczbę punktów na 3, kliknąłem start i ustawiłem prędkość na „szybko”. Punkt startowy, zwany tu punktem śladu, zaczął się przesuwać, zaznaczając punkty. Po odczekaniu około 5 minut zauważyłem to:

To rzeczywiście Trójkąt Sierpińskiego ! Przypadkowe kropki i chaos doprowadzają nas do takiego porządku i symetrycznego wzoru. To część teorii chaosu. Teoria chaosu jest zwykle definiowana jako:

„ Dziedzina matematyki zajmująca się zachowaniem układów dynamicznych, które są bardzo wrażliwe na warunki początkowe. ”

Tak więc warunkami początkowymi w tym przypadku były trzy kropki, od których zaczynaliśmy, oraz reguła, według której zaznaczaliśmy kropki. Jeśli zamiast 3 zaczniesz od 5 kropek, otrzymasz inny wzór. W teorii chaosu pozorna losowość prowadzi do różnych wzorów, fraktali, symetrii itp. Paproć Barnsleya można również stworzyć poprzez grę w chaos.

(Aby spróbować samemu, kliknij tutaj ).

Co zaskakujące, pojęcie teorii chaosu nie zostało po raz pierwszy odkryte przez matematyka, ale przez meteorologa Edwarda Nortona Lorenza . Był matematykiem ubranym w płaszcz meteorologa. Wszystko zaczęło się od koncepcji, która stała się bardzo znana i została wykorzystana w książkach i filmach. To jest efekt motyla .

Efekt motyla w zasadzie mówi, że trzepot skrzydeł motyla może spowodować, kilka tygodni później, tornado po przeciwnej stronie świata. Wydaje się niemożliwe, prawda? W szczególności jest to wrażliwość układów dynamicznych na warunki początkowe. Efekt motyla był koncepcją odkrytą jedynie dzięki przybliżeniom.

Meteorolodzy są znani z tego, że dokonują przybliżeń dotyczących pogody i są przezabawnie niedokładni, ale to nie do końca ich wina. To efekt efektu motyla.

Edward Lorenz pracował w dziale prognozowania pogody. Był tam jednym z prognostów. Początkowo znalazł pewne wartości związane z prognozowaniem, które miały około 6 miejsc po przecinku. Przekazanie tego do jego komputera dało konkretny wykres. Następnie ponownie podał te same wartości. Tylko tym razem wartości zostały zaokrąglone i przybliżone do 3 miejsc po przecinku. Początkowo wykres był ten sam. Ale po pewnym czasie drugi wykres miał tak duże różnice i różnice w porównaniu z pierwszym, że prognoza całkowicie się zmieniła. Już różnica około 0,001 w wartościach spowodowała tak duże zmiany na wykresie. To jest efekt motyla. To tam narodziła się cała idea teorii chaosu.

Fraktale są częścią tej teorii chaosu. Teorię chaosu podsumował również Edward Lorenz jako:

„ Chaos: Kiedy teraźniejszość determinuje przyszłość, ale przybliżona teraźniejszość nie determinuje w przybliżeniu przyszłości. ”