Beaucoup d'entre vous ont probablement non seulement entendu parler, mais appris les matrices dans une université ou un lycée. Quand j'étais en première année et que je suivais un cours d'algèbre à l'université, je ne comprenais pas pourquoi j'apprenais les matrices. Les seules questions que j'avais en tête étaient : « Pourquoi les gens se soucient-ils des matrices ? Pourquoi avons-nous besoin d'apprendre à les multiplier et à trouver les matrices inverses ?", bien qu'il soit un excellent élève. Bien que, alors j'ai découvert. Alors, laissez-moi vous montrer à quel point les matrices peuvent être puissantes.

À première vue, une matrice n'est qu'un tableau de nombres. Cela n'a pas l'air impressionnant, et on ne sait toujours pas pourquoi nous devons représenter les nombres de cette façon.

Peut-être avez-vous entendu parler de l'application évidente et simple des matrices - elles sont utilisées pour résoudre des systèmes linéaires d'équations, qui sont généralement de taille énorme (même de l'ordre de millions). En bref, chaque système d'équations linéaires peut être représenté par A x = b , où :

• A est la matrice des coefficients
• x est une matrice colonne des inconnues
• b est la matrice colonne, qui contient les constantes des membres droits des équations

En fait, les matrices sont quelque chose de plus qu'une simple table de nombres. C'est un outil « magique » qui peut vous aider à modifier les espaces.

Considérons le prochain triangle de trois vecteurs dans le système de coordonnées cartésiennes :

Et si nous voulions faire pivoter ce triangle de 90 degrés ? Le moyen le plus simple d'y parvenir est… d'utiliser des matrices ! Commençons par écrire les coordonnées des vecteurs correspondants sous forme de matrice, sachant que a = (0, 1), b = (2, -1), c = (-2, 0) :

La matrice de rotation selon l'angle α ressemble à ceci :

Par conséquent, la matrice de rotation à 90 ° est

Pour faire pivoter notre triangle de 90°, il faut trouver le produit matriciel de R et A :

Ainsi, les vecteurs transformés sont (-1, 0), (1, 2) et (0, -2) :

Il s'agit donc d'un exemple simple mais impressionnant de la façon dont les matrices peuvent nous aider à faire pivoter des vecteurs dans une base spécifique de vecteurs. En fait, les matrices peuvent faire bien plus qu'une simple rotation. Par exemple, trouvons le produit d'une matrice aléatoire inversible (appelons-la S ) et notre matrice A :

Ainsi, dans l'image suivante, vous pouvez voir le triangle d'origine étiré. Les lignes de grille d'origine sont en pointillés et les lignes grises représentent les lignes de grille étirées.

Comme vous pouvez le voir, nous pouvons modifier des figures et des surfaces à l'aide de matrices. Pour appliquer plusieurs modifications aux vecteurs, vous devez les multiplier sur la partie gauche de l'expression. Par conséquent, si vous souhaitez étirer notre triangle puis le faire pivoter, la matrice de vecteurs modifiés ressemblera à ceci :

Voici le résultat sur le graphique :

Donc, si vous voulez ramener notre nouveau triangle à son état d'origine, vous devez appliquer les matrices inverses :

Comme vous pouvez le voir, les matrices peuvent décrire des choses intuitivement compréhensibles d'une manière mathématique précise. De plus, l'ensemble de toutes les matrices inversibles 2×2 forme un groupe sous multiplication ! Si vous ne savez pas ce que sont les groupes, consultez mon article à leur sujet .

En effet, l'ensemble des matrices inversibles 2×2 (appelons-le M) satisfait toutes les propriétés d'un groupe :

1. Pour deux matrices quelconques dans M, leur produit appartient à M. Il est évident que le produit des matrices est une matrice, mais sera-ce toujours une matrice inversible ? Ainsi, puisque det(AB) = det(A) det(B) et que det(A) et det(B) ne sont pas égaux à 0, det(AB) n'est pas non plus égal à 0 et AB est une matrice inversible
2. Pour trois matrices quelconques dans M, quel que soit l'ordre dans lequel vous appliquez la multiplication. Donc, (AB) C = A (BC) Attention ! Pour les matrices arbitraires, AB ≠ BA
3. La matrice identité 2×2 I est un élément neutre dans cet ensemble.
4. Pour toute matrice 2×2 inversible A, il y a toujours une matrice inverse A⁻¹ et A⁻¹ A = AA⁻¹ = I

Références

[1] T. Panov (2019). Algèbre linéaire et géométrie

[2] A. Kostrikine, Y. Manin. Algèbre linéaire et géométrie

[3] Socratique. Cours d'algèbre abstraitehttps://www.socratica.com/subject/abstract-algebra

[4] 3Bleu1Marron. Multiplication matricielle comme compositionhttps://www.youtube.com/watch?v=XkY2DOUCWMU