Dans le thriller mystérieux à succès de 2003 de Dan Brown « The Da Vinci Code », il y a un peu de répartie dans le livre entre le héros du livre, Robert Langdon, et la cryptographe Sophie Neveu, dans laquelle elle exprime son scepticisme quant à la valeur « des croyants vivant par croyances qui incluent des événements miraculeux. Il semble que leur réalité soit fausse », ricane-t-elle.
Langdon rit et dit que ces croyances ne sont pas plus fausses "que celle d'un cryptographe mathématique qui croit au nombre imaginaire 'i' parce que cela l'aide à casser les codes".
Pour ceux d'entre nous qui ne sont pas doués pour les mathématiques , la blague de Langdon était un peu déroutante. De quoi diable parle-t-il quand il dit qu'un nombre est imaginaire ? Comment cela pourrait-il être?
Il s'avère, cependant, qu'un nombre imaginaire – en gros, un nombre qui, une fois mis au carré, donne un nombre négatif – est vraiment une chose en mathématiques, découverte pour la première fois dans les années 1400 et 1500 comme moyen de résoudre certaines équations perturbantes. Bien qu'initialement considérés comme une sorte d'astuce de salon, au cours des siècles qui ont suivi, ils sont devenus un outil pour conceptualiser le monde de manière complexe et sont aujourd'hui utiles dans des domaines allant du génie électrique à la mécanique quantique.
"Nous avons inventé les nombres imaginaires pour certaines des mêmes raisons que nous avons inventé les nombres négatifs", explique Cristopher Moore . Il est physicien au Santa Fe Institute , une institution de recherche indépendante au Nouveau-Mexique, et co-auteur, avec Stephan Mertens, du livre de 2011 " The Nature of Computation ".
"Commencez par l'arithmétique ordinaire", poursuit Moore. « Qu'est-ce que deux moins sept ? Si vous n'avez jamais entendu parler de nombres négatifs, cela n'a pas de sens. Il n'y a pas de réponse. Vous ne pouvez pas avoir cinq pommes négatives, n'est-ce pas ? Mais pensez-y de cette façon. Vous pourriez me devoir cinq pommes, ou cinq dollars. Une fois que les gens ont commencé à faire de la comptabilité et de la tenue de livres, nous avions besoin de ce concept. " De même, aujourd'hui, nous connaissons tous l'idée que si nous écrivons de gros chèques pour payer des choses, mais que nous n'avons pas assez d'argent pour les couvrir, nous pourrions avoir un solde négatif sur nos comptes bancaires.
La pensée créative va un long chemin
Une autre façon de regarder les nombres négatifs – et cela vous sera utile plus tard – est de penser à vous promener dans un quartier de la ville, dit Moore. Si vous faites un mauvais virage et dans la direction opposée à votre destination - disons, cinq pâtés de maisons au sud, alors que vous auriez dû aller vers le nord - vous pourriez penser que vous marchez cinq pâtés de maisons négatifs vers le nord.
"En inventant des nombres négatifs, cela élargit votre univers mathématique et vous permet de parler de choses qui étaient difficiles auparavant", explique Moore.
Les nombres imaginaires et les nombres complexes, c'est-à-dire les nombres qui incluent une composante imaginaire, sont un autre exemple de ce type de pensée créative. Comme Moore l'explique : "Si je vous demande, quelle est la racine carrée de neuf, c'est facile, n'est-ce pas ? La réponse est trois - bien que cela puisse aussi être moins trois", car multiplier deux négatifs donne un résultat positif .
Mais quelle est la racine carrée de moins un ? Y a-t-il un nombre, multiplié par lui-même, qui vous donne une valeur négative ? "À un certain niveau, il n'y a pas un tel nombre", dit Moore.
Mais les mathématiciens de la Renaissance ont trouvé un moyen intelligent de contourner ce problème. "Avant d'inventer les nombres négatifs, il n'y avait pas de nombre de deux moins sept", poursuit Moore. "Alors peut-être devrions-nous inventer un nombre qui est la racine carrée de moins un. Donnons-lui un nom. i. "
Une fois qu'ils ont eu le concept d'un nombre imaginaire, les mathématiciens ont découvert qu'ils pouvaient faire des trucs vraiment cool avec. N'oubliez pas que multiplier un nombre positif par un nombre négatif équivaut à un nombre négatif, mais que multiplier deux nombres négatifs l'un par l'autre équivaut à un positif. Mais que se passe-t-il lorsque vous commencez à multiplier i par sept, puis à nouveau par i ? Parce que i fois i est moins un, la réponse est moins sept. Mais si vous multipliez sept fois i fois i fois i fois i , tout à coup vous obtenez sept positif. "Ils s'annulent", note Moore.
Pensez maintenant à cela. Vous avez pris un nombre imaginaire, l'avez inséré plusieurs fois dans une équation et vous vous êtes retrouvé avec un nombre réel que vous utilisez couramment dans le monde réel.
Les nombres imaginaires sont des points sur un plan
Ce n'est que quelques centaines d'années plus tard, au début des années 1800, que les mathématiciens ont découvert une autre façon de comprendre les nombres imaginaires, en les considérant comme des points sur un plan, explique Mark Levi . Il est professeur et directeur du département de mathématiques à la Penn State University et auteur du livre de 2012 « Why Cats Land on Their Feet: And 76 Other Physical Paradoxes and Puzzles ».
Lorsque nous considérons les nombres comme des points sur une ligne, puis que nous ajoutons une deuxième dimension, "les points sur ce plan sont les nombres imaginaires", dit-il.
Imaginez une droite numérique. Quand vous pensez à un nombre négatif, il est à 180 degrés des nombres positifs sur la ligne. "Lorsque vous multipliez deux nombres négatifs, vous ajoutez leurs angles, 180 degrés plus 180 degrés, et vous obtenez 360 degrés. C'est pourquoi c'est positif", explique Levi.
Mais vous ne pouvez pas mettre la racine carrée de moins un n'importe où sur l'axe X. Cela ne fonctionne tout simplement pas. Cependant, si vous créez un axe Y perpendiculaire au X, vous avez maintenant un endroit pour le placer.
Et tandis que les nombres imaginaires semblent n'être qu'un tas d'éblouissements mathématiques, ils sont en fait très utiles pour certains calculs importants dans le monde technologique moderne, tels que le calcul du flux d'air au-dessus d'une aile d'avion ou la détermination du drain d'énergie. de la résistance combinée à l'oscillation dans un système électrique. Et le fictif Robert Langdon ne nous tirait pas sur les jambes quand il a mentionné qu'ils sont également utilisés en cryptographie.
Les nombres complexes avec des composants imaginaires sont également utiles en physique théorique, explique Rolando Somma , un physicien qui travaille dans les algorithmes d'informatique quantique au Laboratoire national de Los Alamos.
"En raison de leur relation avec les fonctions trigonométriques, ils sont utiles pour décrire, par exemple, des fonctions périodiques", explique Somma par courrier électronique. « Ceux-ci se présentent comme des solutions aux équations d'onde, nous utilisons donc des nombres complexes pour décrire diverses ondes, comme une onde électromagnétique. Ainsi, comme en mathématiques, le calcul complexe en physique est un outil extrêmement utile pour simplifier les calculs. »
Les nombres complexes ont également un rôle dans la mécanique quantique, une théorie qui décrit le comportement de la nature à l'échelle des atomes et des particules subatomiques.
« En mécanique quantique, « i » apparaît explicitement dans l' équation de Schrödinger », explique Somma. "Ainsi, les nombres complexes semblent avoir un rôle plus fondamental dans la mécanique quantique plutôt que de simplement servir d'outil de calcul utile."
"L'état d'un système quantique est décrit par sa fonction d'onde", poursuit-il. "En tant que solution à l'équation de Schrödinger, cette fonction d'onde est une superposition de certains états, et les nombres apparaissant dans la superposition sont complexes. Les phénomènes d'interférence en physique quantique, par exemple, peuvent être facilement décrits à l'aide de nombres complexes."
Maintenant c'est intéressant
Des nombres imaginaires sont également mentionnés dans le roman de 2012 de Thomas Pynchon « Contre le jour ».
