Statistik - Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell zur Überprüfung der Preisschwankungen von Finanzinstrumenten wie Aktien im Zeitverlauf, mit denen der Preis einer europäischen Call-Option berechnet werden kann. Dieses Modell geht davon aus, dass der Preis von Vermögenswerten, die stark gehandelt werden, einer geometrischen Brownschen Bewegung mit konstanter Drift und Volatilität folgt. Im Falle einer Aktienoption berücksichtigt das Black Scholes-Modell die konstante Kursschwankung der zugrunde liegenden Aktie, den Zeitwert des Geldes, den Ausübungspreis der Option und ihre Zeit bis zum Ablauf.

Das Black-Scholes-Modell wurde 1973 von Fisher Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelt und ist auf den euporianischen Finanzmärkten immer noch weit verbreitet. Es bietet eine der besten Möglichkeiten, faire Preise für Optionen zu ermitteln.

Eingänge

Das Black Scholes-Modell benötigt fünf Eingänge.

Ausübungspreis einer Option
Aktueller Aktienkurs
Zeit bis zum Ablauf
Risikofreier Zinssatz
Volatility

Annahmen

Das Black-Scholes-Modell geht von folgenden Punkten aus.

Die Aktienkurse folgen einer logarithmischen Normalverteilung.
Vermögenspreise können nicht negativ sein.
Keine Transaktionskosten oder Steuern.
Der risikofreie Zinssatz ist für alle Laufzeiten konstant.
Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung von Erlösen sind zulässig.
Keine risikolose Arbitrage-Gelegenheit vorhanden.

Formel

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, wobei \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Wo -

$ {C} $ = Wert der Anrufoption.
$ {P} $ = Wert der Put-Option.
$ {S} $ = Aktienkurs.
$ {K} $ = Ausübungspreis.
$ {r} $ = Risikofreier Zinssatz.
$ {T} $ = Restlaufzeit.
$ {\ sigma} $ = Annualisierte Volatilität.

Einschränkungen

Das Black Scholes-Modell weist folgende Einschränkungen auf.

Gilt nur für europäische Optionen, da amerikanische Optionen vor deren Ablauf ausgeübt werden konnten.
Konstante Dividenden und konstante risikofreie Zinssätze sind möglicherweise nicht relistisch.
Die Volatilität kann mit dem Niveau von Angebot und Nachfrage der Option schwanken, daher ist es möglicherweise nicht wahr, dass sie konstant ist.