Statistik - Wahrscheinlichkeitsadditivsatz

Für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Der additive Satz von Wahrscheinlichkeitszuständen besagt, dass wenn A und B zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, die Wahrscheinlichkeit von entweder A oder B gegeben ist durch

$ {P (A \ oder \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B)} $

Der Satz kann auf drei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse auch als erweitert werden

$ {P (A \ Tasse B \ Tasse C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Beispiel

Problem Statement:

Eine Karte wird aus einer Packung mit 52 gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen König oder eine Königin handelt?

Solution:

Lassen Sie Ereignis (A) = Ziehen einer Karte des Königs

Ereignis (B) Ziehen Sie eine Karte der Königin

P (Karten ziehen ist König oder Königin) = P (Karte ist König) + P (Karte ist Königin)

$ {P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Für nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse

Falls die Möglichkeit besteht, dass beide Ereignisse auftreten, wird der additive Satz wie folgt geschrieben:

$ {P (A \ oder \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ und \ B) \\ [7pt] P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B. ) - P (AB)} $

Beispiel

Problem Statement:

Es ist bekannt, dass ein Schütze ein Ziel 3 von 7 Schüssen trifft; Es ist bekannt, dass ein anderer Schütze das Ziel 2 von 5 Schüssen trifft. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel überhaupt getroffen wird, wenn beide es versuchen.

Solution:

Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze das Ziel trifft P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Schütze das Ziel trifft P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Ereignis A und B schließen sich nicht gegenseitig aus, da beide Schützen das Ziel treffen können. Daher gilt die additive Regel

$ {P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B) - P (A \ Kappe B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $