Statistik - Leistungsrechner

Wann immer ein Hypothesentest durchgeführt wird, müssen wir sicherstellen, dass der Test von hoher Qualität ist. Eine Möglichkeit, die Leistung oder Empfindlichkeit eines Tests zu überprüfen, besteht darin, die Wahrscheinlichkeit des Tests zu berechnen, dass die Nullhypothese korrekt verworfen werden kann, wenn eine alternative Hypothese korrekt ist. Mit anderen Worten, die Kraft eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit, die alternative Hypothese zu akzeptieren, wenn sie wahr ist, wobei eine alternative Hypothese einen Effekt im statistischen Test feststellt.

Die Leistung eines Tests wird auch durch Überprüfen der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I ($ {\ alpha} $) und eines Fehlers vom Typ II ($ {\ beta} $) geprüft, wobei der Fehler vom Typ I die falsche Ablehnung einer gültigen Nullhypothese darstellt Der Fehler vom Typ II stellt die falsche Beibehaltung einer ungültigen Nullhypothese dar. Je geringer die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I oder Typ II ist, desto größer ist die Leistung statistischer Tests.

Beispiel

Unter Studenten wurde eine Umfrage durchgeführt, um ihren IQ zu überprüfen. Angenommen, eine Zufallsstichprobe von 16 Schülern wird getestet. Der Vermesser testet die Nullhypothese, dass der IQ des Schülers 100 ist, gegen die alternative Hypothese, dass der IQ des Schülers nicht 100 ist, unter Verwendung eines Signifikanzniveaus von 0,05 und einer Standardabweichung von 16. Was ist die Kraft des Hypothesentests, wenn die wahre Population Mittelwert waren 116?

Solution:

Als Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese folgt eine Student-t-Verteilung. Wenn n groß ist, können wir die t-Verteilung durch eine Normalverteilung approximieren. Da die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ I ($ {\ alpha} $) zu begehen, 0,05 beträgt, können wir die Nullhypothese $ {H_0} $ ablehnen, wenn die Teststatistik $ {T \ ge 1.645} $. Berechnen wir den Wert des Stichprobenmittelwerts mithilfe der Teststatistik anhand der folgenden Formel.

Berechnen wir die Leistung des statistischen Tests anhand der folgenden Formel.

Wir haben also eine 99,09% ige Chance, die Nullhypothese $ {H_0: \ mu = 100} $ zugunsten der alternativen Hypothese $ {H_1: \ mu \ gt 100} $ abzulehnen, bei der der unbekannte Populationsmittelwert $ {\ mu = 116 ist } $.