Statistik - Negative Binomialverteilung
Die negative Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge und Misserfolge in einer Folge unabhängiger Pfade, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen auftritt. Im Folgenden sind die wichtigsten Punkte aufgeführt, die bei einem negativen Binomialversuch zu beachten sind.
Das Experiment sollte aus x wiederholten Versuchen bestehen.
Jeder Trail hat zwei mögliche Ergebnisse, eines für den Erfolg und eines für den Misserfolg.
Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich.
Die Ausgabe eines Versuchs ist unabhängig von der Ausgabe eines anderen Trails.
Das Experiment sollte durchgeführt werden, bis r Erfolge beobachtet werden, wobei r zuvor erwähnt wird.
Die negative Binomialverteilungswahrscheinlichkeit kann wie folgt berechnet werden:
Formel
${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} }$
Wo -
${x}$ = Gesamtzahl der Versuche.
${r}$ = Anzahl der Erfolgsereignisse.
${P}$ = Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Auftreten.
${1-P}$ = Ausfallwahrscheinlichkeit bei jedem Auftreten.
${f(x; r, P)}$ = Negative Binomialwahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit, dass ein negatives Binomialversuch im x-Versuch zum r-ten Erfolg beim x-ten Versuch führt, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch P ist.
${^{n}C_{r}}$ = Kombination von n Gegenständen, die gleichzeitig r genommen wurden.
Beispiel
Robert ist ein Fußballspieler. Seine Erfolgsquote beim Erreichen des Ziels beträgt 70%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Robert beim fünften Versuch sein drittes Tor erzielt?
Solution:
Hier beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit P 0,70. Anzahl der Versuche, x ist 5 und Anzahl der Erfolge, r ist 3. Berechnen wir unter Verwendung der negativen Binomialverteilungsformel die Wahrscheinlichkeit, im fünften Versuch das dritte Ziel zu erreichen.
${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} \\[7pt] \implies f(5; 3, 0.7) = ^4C_2 \times 0.7^3 \times 0.3^2 \\[7pt] \, = 6 \times 0.343 \times 0.09 \\[7pt] \, = 0.18522 }$
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, im fünften Versuch das dritte Ziel zu erreichen, groß $ { 0.18522 }$.