Statistik - Wahrscheinlichkeitsmultiplikativer Satz

Für unabhängige Veranstaltungen

Der Satz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens zweier unabhängiger Ereignisse durch das Produkt ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten gegeben ist.

$ {P (A \ und \ B) = P (A) \ mal P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ mal P (B)} $

Der Satz kann auch auf drei oder mehr unabhängige Ereignisse ausgedehnt werden

$ {P (A \ Kappe B \ Kappe C) = P (A) \ mal P (B) \ mal P (C) P (A, B \ und \ C) = P (A) \ mal P (B) \ times P (C)} $

Beispiel

Problem Statement:

Ein College muss einen Dozenten ernennen, der B.Com., MBA und Ph. D sein muss, dessen Wahrscheinlichkeit $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} beträgt. } $ bzw. $ {\ frac {1} {40}} $. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche Person vom College ernannt wird.

Solution:

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein B.Com.P (A) ist = $ {\ frac {1} {20}} $

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein MBA P (B) ist = $ {\ frac {1} {25}} $

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Ph.DP (C) ist = $ {\ frac {1} {40}} $

Verwendung des multiplikativen Theorems für unabhängige Ereignisse

$ {P (A, B \ und \ C) = P (A) \ mal P (B) \ mal P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ mal \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Für abhängige Ereignisse (bedingte Wahrscheinlichkeit)

Wie zuvor definiert, sind abhängige Ereignisse diejenigen, bei denen das Auftreten oder Nichtauftreten eines Ereignisses das Ergebnis des nächsten Ereignisses beeinflusst. Für solche Ereignisse ist der zuvor angegebene multiplikative Satz nicht anwendbar. Die mit solchen Ereignissen verbundene Wahrscheinlichkeit wird als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet und ist gegeben durch

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ oder $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Lesen Sie P (A / B) als die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A, wenn Ereignis B bereits aufgetreten ist.

In ähnlicher Weise ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B bei gegebenem A.

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ oder $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Beispiel

Problem Statement:

Eine Münze wird 2 Mal geworfen. Der Wurf führte zu einem Kopf und einem Schwanz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf zu einem Schwanz führte?

Solution:

Der Probenraum einer zweimal geworfenen Münze ist gegeben als S = {HH, HT, TH, TT}

Sei Ereignis A der erste Wurf, der zu einem Schwanz führt.

Ereignis B ist, dass ein Schwanz und ein Kopf aufgetreten sind.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] Also \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0,5} $