Statistik - Lineare Regression

Sobald der Grad der Beziehung zwischen Variablen mithilfe der Ko-Beziehungsanalyse ermittelt wurde, ist es naheliegend, sich mit der Art der Beziehung zu befassen. Die Regressionsanalyse hilft bei der Bestimmung der Ursache-Wirkungs-Beziehung zwischen Variablen. Es ist möglich, den Wert anderer Variablen (als abhängige Variable bezeichnet) vorherzusagen, wenn die Werte unabhängiger Variablen unter Verwendung einer grafischen Methode oder der algebraischen Methode vorhergesagt werden können.

Grafische Methode

Dabei wird ein Streudiagramm mit einer unabhängigen Variablen auf der X-Achse und einer abhängigen Variablen auf der Y-Achse gezeichnet. Danach wird eine Linie so gezeichnet, dass sie den größten Teil der Verteilung durchläuft, wobei die verbleibenden Punkte auf beiden Seiten der Linie fast gleichmäßig verteilt sind.

Eine Regressionslinie ist als die Linie der besten Anpassung bekannt, die die allgemeine Bewegung von Daten zusammenfasst. Es zeigt die besten Mittelwerte einer Variablen, die den Mittelwerten der anderen entsprechen. Die Regressionslinie basiert auf den Kriterien, dass es sich um eine gerade Linie handelt, die die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den vorhergesagten und beobachteten Werten der abhängigen Variablen minimiert.

Algebraische Methode

Die algebraische Methode entwickelt zwei Regressionsgleichungen von X auf Y und Y auf X.

Regressionsgleichung von Y auf X.

$ {Y = a + bX} $

Wo -

$ {Y} $ = Abhängige Variable
$ {X} $ = Unabhängige Variable
$ {a} $ = Konstante, die den Y-Achsenabschnitt zeigt
$ {b} $ = Konstante, die die Steigung der Linie zeigt

Die Werte von a und b werden durch die folgenden normalen Gleichungen erhalten:

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2} $

Wo -

$ {N} $ = Anzahl der Beobachtungen

Regressionsgleichung von X auf Y.

$ {X = a + bY} $

Wo -

$ {X} $ = Abhängige Variable
$ {Y} $ = Unabhängige Variable
$ {a} $ = Konstante, die den Y-Achsenabschnitt zeigt
$ {b} $ = Konstante, die die Steigung der Linie zeigt

Die Werte von a und b werden durch die folgenden normalen Gleichungen erhalten:

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2} $

Wo -

$ {N} $ = Anzahl der Beobachtungen

Beispiel

Problem Statement:

Ein Forscher hat herausgefunden, dass es einen Zusammenhang zwischen den Gewichtstendenzen von Vater und Sohn gibt. Er ist nun daran interessiert, aus den angegebenen Daten eine Regressionsgleichung für zwei Variablen zu entwickeln:

Gewicht des Vaters (in kg)	69	63	66	64	67	64	70	66	68	67	65	71
Gewicht des Sohnes (in kg)	70	65	68	65	69	66	68	65	71	67	64	72

Entwickeln

Regressionsgleichung von Y auf X.
Regressionsgleichung von auf Y.

Solution:

$ {X} $	$ {X ^ 2} $	$ {Y} $	$ {Y ^ 2} $	$ {XY} $
69	4761	70	4900	4830
63	3969	65	4225	4095
66	4356	68	4624	4488
64	4096	65	4225	4160
67	4489	69	4761	4623
64	4096	66	4356	4224
70	4900	68	4624	4760
66	4356	65	4225	4290
68	4624	71	5041	4828
67	4489	67	4489	4489
65	4225	64	4096	4160
71	5041	72	5184	5112
$ {\ sum X = 800} $	$ {\ sum X ^ 2 = 53.402} $	$ {\ sum Y = 810} $	$ {\ sum Y ^ 2 = 54.750} $	$ {\ sum XY = 54.059} $

Regressionsgleichung von Y auf X.

Y = a + bX

Wobei a und b durch normale Gleichungen erhalten werden

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2 \\ [7pt] Wobei \ \ sum Y = 810, \ sum X = 800 , \ sum X ^ 2 = 53,402 \\ [7pt], \ sum XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b ... (i)

$ {\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b ... (ii)

Wenn wir Gleichung (i) mit 800 und Gleichung (ii) mit 12 multiplizieren, erhalten wir:

96000 a + 640000 b = 648000 ... (iii)

96000 a + 640824 b = 648588 ... (iv)

Subtrahieren der Gleichung (iv) von (iii)

-824 b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = -.0713

Einsetzen des Wertes von b in Gl. (ich)

810 = 12a + 800 (-0,713)

810 = 12a + 570,4

12a = 239,6

$ {\ Rightarrow} $ a = 19.96

Daher kann die Gleichung Y auf X wie folgt geschrieben werden

$ {Y = 19,96 - 0,713X} $

Regressionsgleichung von X auf Y.

X = a + bY

Wobei a und b durch normale Gleichungen erhalten werden

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2 \\ [7pt] Wobei \ \ sum Y = 810, \ sum Y ^ 2 = 54.750 \\ [7pt], \ sum XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b ... (V)

$ {\ Rightarrow} $ 54.049 = 810a + 54, 750 ... (vi)

Wenn wir Gleichung (v) mit 810 und Gleichung (vi) mit 12 multiplizieren, erhalten wir

9720 a + 656100 b = 648000 ... (vii)

9720 a + 65700 b = 648588 ... (viii)

Subtrahieren von Gleichung viii von Gleichung vii

900b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = 0,653

Einsetzen des Wertes von b in Gleichung (v)

800 = 12a + 810 (0,653)

12a = 271,07

$ {\ Rightarrow} $ a = 22,58